Hemmes mathematische Rätsel: Wie viel hellen Marmor enthält die Mindener Rosette?
Karl der Große gründete um 800 die Stadt und das Bistum Minden und ließ dort einen Dom bauen. Das Bistum Minden gibt es nicht mehr, und der karolingische Dom ist längst zerstört und durch Nachfolgekirchen ersetzt worden. In den Fußboden des heutigen Doms sind steinerne Rosetten eingelassen. Sie bestehen aus Kreisen, in denen sternförmig acht gleiche Rauten liegen. Vier ganze und vier halbe Rauten bestehen aus hellem Marmor und vier halbe Rauten und der Rest des Kreises aus dunklem Marmor.
2022 fragte Gerd Ehrhardt aus Aachen die Leserinnen und Leser der Aachener Zeitung und der Aachener Nachrichten: Wie viel Prozent der Kreisfläche besteht aus hellem Marmor?
Sind die kurze und die lange Diagonale der Raute k und l lang, beträgt ihr Flächeninhalt R = kl/2. Der Kreis hingegen hat den Flächeninhalt K = πl2. Da die helle Fläche dem Inhalt von sechs Rauten entspricht, beträgt ihr Anteil an der Rosette 6R/K = (6kl/2)/(πl2) = 3k/(πl). Im Mittelpunkt der Rosette treffen sich acht Rauten. Somit sind ihre spitzen Winkel 360°/8 = 45° groß. Drehen wir die Rosette um 22,5° gegen den Uhrzeigersinn, liegen die Seiten AB und DF der Raute ABDF horizontal und die Seite BD ist eine Diagonale des Quadrats BCDE. Hat das Quadrat die Seitenlänge a, sind die Rautenseiten a√2 lang. Die beiden rechtwinkligen Dreiecke FGD und FEB sind ähnlich. Somit gilt für ihr Kathetenverhältnis (k/2)/(l/2) = (a√2 – a)/a oder k/l = √2 – 1. Setzt man dies in die Flächengleichung ein, erhält man 3(√2 – 1)/π ≈ 0,3955. Etwa 40 Prozent der Rosette bestehen also aus hellem Marmor.
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