Hemmes mathematische Rätsel: Wie viel schneller läuft Max als Moritz?
Max und Moritz starten gleichzeitig am selben Punkt und laufen etliche Runden um einen kleinen See, der eine im und der andere gegen den Uhrzeigersinn. Eine Minute nach dem Start begegnen sie sich zum ersten Mal. Am nächsten Tag rennen sie wieder um den See. Auch diesmal starten sie gleichzeitig am selben Punkt, nur umrunden sie ihn dieses Mal beide im Uhrzeigersinn. Eine Stunde nach dem Start treffen sie sich zum ersten Mal. Max und Moritz laufen mit verschiedenen, aber immer gleichen Geschwindigkeiten. Max ist der schnellere Läufer. Um welchen Faktor ist seine Geschwindigkeit größer als die von Moritz?
Am ersten Tag legen Max und Moritz zusammen bis zum ersten Treffen nach t = 1 Minute eine Strecke s zurück, die einer Runde um den See entspricht. Haben Max und Moritz die Geschwindigkeiten v1 und v2, so gilt darum v1t + v2t = s, was man zu v2 = s/t – v1 umformen kann. Am nächsten Tag überholt Max nach 60 Minuten erstmals Moritz und ist dann eine Runde mehr gelaufen als dieser. Somit gilt v1 · 60t = v2 · 60t + s. Setzt man die erste in die zweite Gleichung ein, erhält man 60v1t = 60(s/t – v1)t + s oder v1 = 61/120 · s/t, woraus sich sofort v2 = 59/120 · s/t ergibt. Max rennt folglich v1/v2 = 61/59 ≈ 1,034-mal so schnell wie Moritz.
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