Hemmes mathematische Rätsel: Wie viele Dreiecke braucht es?
In der gestrigen Aufgabe wurden die Polyamanten vorgestellt. Sie sind flache Plättchen, die aus lauter gleichen gleichseitigen Dreiecken zusammengesetzt sind. Die Dreiecke hängen dabei so mit den Seiten aneinander, dass die Ecken immer zusammenfallen. Je nach Zahl der Dreiecke einer Figur unterscheidet man Moniamanten, Diamanten, Triamanten oder allgemein n-Iamanten. Aus wie vielen Dreiecken besteht ein sechsseitiger Polyamant mindestens, dessen Seiten alle verschieden lang sind? Der Polyamant darf dabei keine Löcher haben, also nicht ringförmig sein.
Alle Linien in einem Polyamanten können nur in drei verschiedenen Richtungen verlaufen. Folglich muss es bei einem Sechseck drei Paare von parallelen Seiten geben. Das bedeutet aber bei einem konvexen Sechseck, dass die beiden Kantenpaare, die zwei parallele Seiten miteinander verbinden, jeweils insgesamt gleich lang sein müssen. Schon die sechs kürzestmöglichen Seitenlängen, 1, 2, 3, 4, 5 und 6, erfüllen diese Bedingung. Abgesehen von der spiegelbildlichen Form sind nur zwei konvexe Polyamanten mit diesen Seitenlängen möglich. Der kleinere davon besteht aus 65 Dreiecken. Lässt man auch konkave Figuren zu, so kann man auch einen Polyamanten aus nur 25 Dreiecken finden.
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