Rätseln mit Eder: Wie viele Enkelkinder haben die Großeltern?
Die Großeltern bereiten ihren Enkelkindern eine Freude. Auf einem Tisch liegen lauter Ein-Euro-Münzen, nacheinander dürfen sich die Kinder davon einen Anteil nach der folgenden Regel nehmen:
Das Älteste startet und nimmt sich eine Münze und den achten Teil vom Rest. Das Nächste bekommt zwei Münzen und den achten Teil vom Rest; das Dritte drei Münzen und den achten Teil vom Rest. So geht es immer weiter, bis jedes Kind an der Reihe war.
Erstaunlich! Am Ende haben alle Kinder gleich viel Geld bekommen. Wie viele Enkelkinder haben die Großeltern?
Die Großeltern haben 7 Enkelkinder.
Erklärung
Auf dem Tisch lagen 49 Ein-Euro-Münzen.
1. Kind: 1 + 1⁄8 von 48 = 1 + 6 = 7
2. Kind: 2 + 1⁄8 von 40 = 2 + 5 = 7
3. Kind: 3 + 1⁄8 von 32 = 3 + 4 = 7
4. Kind: 4 + 1⁄8 von 24 = 4 + 3 = 7
5. Kind: 5 + 1⁄8 von 16 = 5 + 2 = 7
6. Kind: 6 + 1⁄8 von 8 = 6 + 1 = 7
7. Kind: 7 + 1⁄8 von 0 = 0 + 7 = 7
Allgemein gilt für n Personen, dass n2 Ein-Euro-Münzen zur Auswahl stehen müssen und sie den 1/(n+1)-ten Teil vom Rest bekommen.
1. Kind: 1 + 1/(n+1) von (n2-1) = 1 + 1/(n+1) von (n-1)·(n+1) = 1 + (n-1) = n
2. Kind: 2 + 1/(n+1) von (n2-n-2) = n
3. Kind: 3 + 1/(n+1) von (n2-2n-3) = n
usw.
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