Hemmes mathematische Rätsel: Wie viele Flächen haben die Spielwürfel?
1994 schrieben die beiden Amerikaner Richard Rusczyk (*1971) und Sandor Lehoczky das zweibändige Buch »The Art of Problem Solving«, das Schülerinnen und Schüler auf Mathematikwettbewerbe vorbereiten sollte, indem es ihnen Konzepte und Problemlösungsmethoden vermittelte, die in der Schule selten gelehrt werden. Diese Bücher gaben der Website, die Rusczyk 2003 gründete, ihren Namen. Die Website stellt Material für Schüler der Mittel- und Oberstufe zur Entwicklung ihrer Mathematik- und Problemlösungsfähigkeiten bereit. Die heutige Kopfnuss wurde dort 2021 eingestellt.
Von zwei Spielwürfeln, die nicht unbedingt kubisch sein müssen, hat jeder mindestens sechs Seitenflächen. Auf beiden Spielwürfeln sind die Flächen mit Augenzahlen von 1 bis zur jeweiligen Flächenzahl beschriftet. Die Wahrscheinlichkeit, mit den beiden Würfeln zusammen eine Augensumme von 7 zu werfen, ist 3/4 der Wahrscheinlichkeit, die Augensumme 10 zu werfen, und die Wahrscheinlichkeit, die Augensumme 12 zu werfen, beträgt 1/12. Wie viele Flächen haben die beiden Spielwürfel? (Es spielt dabei keine Rolle, ob und wie sich Spielwürfel mit diesen Flächenzahlen technisch realisieren lassen.)
Angenommen, die beiden Spielwürfel haben m und n Flächen, wobei m ≤ n sein soll. Da beide Würfel mindestens sechs Flächen haben und damit auch mindestens die Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6 tragen, gibt es genau die sechs Möglichkeiten 1 + 6, 2 + 5, 3 + 4, 4 + 3, 5 + 2 und 6 + 1, mit einem Wurf die Augensumme 7 zu erreichen. Folglich muss es laut Aufgabe 4/3 ∙ 6 = 8 Möglichkeiten geben, die Augensumme 10 zu werfen. Haben beide Würfel mindestens neun Seiten, gibt es neun Möglichkeiten, die Augensumme 10 zu würfeln. Um genau acht Möglichkeiten für die Augensumme 10 zu haben, muss m = 8 und n ≥ 9 sein: 1 + 9, 2 + 8, 3 + 7, 4 + 6, 5 + 5, 6 + 4, 7 + 3 und 8 + 2. Gibt es k Möglichkeiten, die Augensumme 12 zu werfen, beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür k/(mn) = 1/12. Da m = 8 ist, vereinfacht sich der Ausdruck zu k/(8n) = 1/12 oder n = 3/2k. Außerdem folgt aus m = 8, dass k ≤ 8 sein muss, was wiederum zu n ≤ 12 führt. Weil n wegen n = 3/2k ein Vielfaches von 3 sein muss, kommen nur n = 9 und n = 12 in Frage. Beide Werte liefern korrekte Wahrscheinlichkeiten. Folglich hat der eine Würfel acht und der andere neun oder zwölf Flächen.
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