Hemmes mathematische Rätsel: Wie viele Kanten muss man aufschneiden?
Ein regelmäßiges Dodekaeder hat zwölf gleiche regelmäßige fünfeckige Flächen, zwanzig Ecken und dreißig Kanten. Schneidet man die Oberfläche eines solchen Dodekaeders entlang von gerade so vielen Kanten auf, dass sie sich flach in der Ebene ausbreiten lässt, aber noch zusammenhängend ist, erhält man ein Dodekaedernetz. Insgesamt gibt es 43 380 verschiedene Dodekaedernetze. Wie viele Kanten des Dodekaeders muss man mindestens und wie viele darf man höchstens aufschneiden, um ein Dodekaedernetz zu erhalten?
In der Ebene können an keiner Ecke drei oder mehr regelmäßige Fünfecke lückenlos aneinanderstoßen, und es kann auch keine Ringe von Fünfecken geben. Nun kann man die Netze systematisch aufbauen. Man beginnt mit einem Fünfeck und hängt daran über eine Kante ein zweites Fünfeck. Auch jedes weitere Fünfeck wird über eine einzelne Kante mit den schon vorhandenen Fünfecken verbunden. Bei zwölf Fünfecken gibt es also insgesamt elf Verbindungskanten. Folglich müssen von 30 Kanten für jedes der 43 380 verschiedenen Netze jeweils genau 19 Kanten aufgeschnitten werden.
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