Hemmes mathematische Rätsel: Wie viele Seiten eines konvexen Polyeders müssen dreieckig sein?
![Die fünf platonischen Körper Die fünf platonischen Körper](https://static.spektrum.de/fm/912/f2000x857/PlatonischeKoerper.png)
Bei einem konvexen Polyeder treffen an jeder Ecke genau vier Kanten zusammen. Mindestens wie viele seiner Seitenflächen müssen dreieckig sein?
Hat ein Polyeder e Ecken, f Flächen und k Kanten, gilt nach dem Eulerschen Polyedersatz e + f = k + 2. Da sich an jeder Ecke vier Kanten treffen, und jede Kante zwei Ecken verbindet, muss 4e = 2k oder e = k/2 sein. Setzt man das in den Polyedersatz ein, wird daraus k/2 + f = k + 2 oder f = k/2 + 2.
Sind genau d Flächen dreieckig und damit auch dreikantig, so haben f − d Flächen mindestens vier Ecken und vier Kanten. Da jede Kante zu zwei Flächen gehört, gilt 3d + 4(f − d) ≤ 2k, was sich zu f ≤ k/2 + d/4 umformen lässt. Auch dies wird in den Polyedersatz eingesetzt und ergibt k/2 + d/4 ≥ k/2 + 2 oder d ≥ 8. Ein Beispiel für d = 8 ist das regelmäßige Oktaeder.
Schreiben Sie uns!
Beitrag schreiben