Einstellige unglückliche Zahlen kann es nicht geben, da sie unmöglich das Dreizehnfache ihrer Quersumme sein können. Damit eine zweistellige Zahl BA unglücklich ist, muss 10B + A = 13(B + A) gelten, was sich zu 3B + 12A = 0 vereinfachen lässt. Da aber A und B positiv sind, kann die Gleichung nicht richtig sein, und es gibt folglich keine unglücklichen zweistelligen Zahlen.

Eine dreistellige Zahl CBA ist unglücklich, wenn 100C + 10B + A = 13(C + B + A) gilt, was man zu 29C = B + 4A zusammenfassen kann. Da B + 4A höchstens 45 sein kann, muss C = 1 sein. Damit vereinfacht sich die Gleichung zu 29 = B + 4A. Sie hat nur die drei Lösungen (B, A) = (1, 7), (5, 6) und (9, 5). Somit sind von allen dreistelligen Zahlen nur 117, 156 und 195 unglücklich.

Eine n-stelligen Zahl ist mindestens 10^n − 1 groß. Ihre Quersumme hingegen kann höchstens 9n betragen. Das Dreizehnfache ihrer Quersumme kann folglich 13 · 9n = 117n nicht überschreiten. Für n ≥ 4 ist aber stets 117n < 10^n − 1.

Folglich gibt es keine unglücklichen Zahlen mit mehr als drei Stellen.