Direkt zum Inhalt

Wigner-Seitz-Zelle des Diamantgitters

Treitz-Rätsel

Im Diamantgitter ist jedes (im Falle des Diamanten selbst: Kohlenstoff-)Atom so an 4 nächste Nachbarn gebunden, wie die Ecken zum Mittelpunkt eines regulären Tetraeders liegen:

© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz
© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz

Wie sieht das Polyeder aus, dessen Inhalt dem mittleren Atom(-kern) näher ist als jedem anderen, wie sieht also die Wigner-Seitz-Zelle des Diamantgitters aus?

Stellen Sie sich zu den Verbindungslinien zwischen dem Zentralatom und seinen nächsten Nachbarn die "räumlichen Mittelsenkrechten" vor, also die Ebenen, die zu diesen Verbindungslinien in deren Mittelpunkten rechtwinklig stehen. Kann man mit dem Polyeder, das aus diesen Ebenen gebildet ist, allein den Raum restlos füllen? Welches Polyeder bilden die entsprechenden Ebenen für die übernächsten Nachbarn?

Die Ebenen gleichen Abstands zwischen einem Atom und einem seiner 4 nächsten Nachbarn (die "Mittelsenkrechten") bilden ein Tetraeder:

© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz
© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz

Mit Tetraedern allein kann man aber den Raum nicht restlos füllen. Wir betrachten daher auch noch die 12 übernächsten Nachbarn, die die Ecken eines Kuboktaeders bilden. Dual zu diesem ist das Rhombendodekaeder mit seinen 12 Flächen.

© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz
© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz

Wären die nächsten Atome nicht da, wäre dieses Polyeder die Wigner-Seitz-Zelle. Die richtige ist aber auf jeden Fall in dem Rhombendodekaeder, aber auch in dem Tetraeder enthalten, also deren Schnittmenge. (Es hätte auch ein Teil dieser Schnittenge sein können, etwa wenn drittnächste Nachbarn eine Rolle spielen würden.) Im nächsten Bild sehen wir die Wigner-Seitz-Zelle des Diamantgitters als Schnitt des Tetraeders und des Rhombendodekaeders (in passenden Größen und Orientierungen!). Dieses Polyeder kann man sich als einen Tetraederstumpf (der aus regelmäßigen Sechsecken und Dreiecken besteht) vorstellen, auf dessen Dreiecke je ein Tetraeder gesetzt ist, dessen Höhe 1/4 seiner Kantenlänge ist.

© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz
© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz

Mit einem Tetraeder, das nur an drei seiner vier Ecken um 1/3 seiner Kantenlänge abgestumpft ist, kann man den Raum lückenlos füllen (anders gesagt: mit großen Tetraederstümpfen und kleinen Tetraedern in gleicher Stückzahl). Hier ist das kleine Tetraeder sozusagen in vier Teilen auf die vier abgestumpften Ecken verteilt.

Wie diese Zellen aneinander gefügt sind, ist jetzt mit vier ganzen und mehreren angeschnittenen Zellen zu sehen:

© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz
© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz

So hübsch diese Wigner-Seitz-Zelle aussieht und so wichtig das Diamantgitter für die Halbleiter ist: Sie ist als Polyeder nicht einmal halbregulär.

Schreiben Sie uns!

Beitrag schreiben

Wir freuen uns über Ihre Beiträge zu unseren Artikeln und wünschen Ihnen viel Spaß beim Gedankenaustausch auf unseren Seiten! Bitte beachten Sie dabei unsere Kommentarrichtlinien.

Tragen Sie bitte nur Relevantes zum Thema des jeweiligen Artikels vor, und wahren Sie einen respektvollen Umgangston. Die Redaktion behält sich vor, Zuschriften nicht zu veröffentlichen und Ihre Kommentare redaktionell zu bearbeiten. Die Zuschriften können daher leider nicht immer sofort veröffentlicht werden. Bitte geben Sie einen Namen an und Ihren Zuschriften stets eine aussagekräftige Überschrift, damit bei Onlinediskussionen andere Teilnehmende sich leichter auf Ihre Beiträge beziehen können. Ausgewählte Zuschriften können ohne separate Rücksprache auch in unseren gedruckten und digitalen Magazinen veröffentlicht werden. Vielen Dank!

Partnerinhalte

Bitte erlauben Sie Javascript, um die volle Funktionalität von Spektrum.de zu erhalten.