Alle wandern beim »Mensch ärgere dich nicht« mit ihren Figuren munter übers Brett, nur ich sitze seit mehreren Runden immer noch in meinem Heimatloch. Kann das mit rechten Dingen zugehen? Wie wahrscheinlich ist es, dass erst im elften Wurf eine Sechs kommt? Sehr unwahrscheinlich. Aber das ist die falsche Frage. Die aktuelle Situation ist, dass in den ersten zehn Würfen keine Sechs kam. Und das ist gar nicht so unwahrscheinlich.

Das und vieles andere rechnet uns Benno Grabinger vor, sorgfältig und in einleuchtender Weise erklärt. Im Kern geht es nur darum, unter allen endlich vielen Ausgängen eines Spiels – allgemeiner: eines Zufallsexperiments – die günstigen auszuzählen. Aber diese Kombinatorik kann sehr vertrackt werden, denn die Anzahl dieser Möglichkeiten steigt rasch bis ins Astronomische. Sie in einer Tabelle notieren zu wollen, ist aussichtslos. Da gilt es, Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten anzuwenden und algebraische Ausdrücke umzuformen; und vor allem muss man statt der Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, das einen interessiert, die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass genau dieses Ereignis nicht eintritt.

Stochastik beim Wichteln und im Tennis

Ich habe in Grabingers Buch etliche Themen aus einschlägigen Stochastik-Vorlesungen wiedererkannt. So geht die Wahrscheinlichkeit, dass ich beim Wichteln (der zufälligen Zuordnung von Geschenken) mein eigenes Präsent in die Hand gedrückt bekomme, mit zunehmender Gruppengröße gegen null. Aber dass das irgendeinem Gruppenmitglied passiert? Überraschung: Diese Wahrscheinlichkeit liegt in der Nähe von 63,21 Prozent, wenn nur mindestens sechs Personen am Wichteln teilnehmen.

Im Tennis, wo der Zufall eine weitaus geringere Rolle spielt als beim Fußball, gibt es die sogenannte Einstandregelung: Prinzipiell ist das einzelne »Spiel« (»Game«) innerhalb eines Satzes beendet, wenn einer der Spieler eine vorgegebene Punktzahl erreicht hat. Ist aber ein Spieler nur einen Punkteschritt voraus, wird so lange weitergespielt, bis dieser oder eben der andere Spieler einen Vorsprung von mindestens zwei Punkteschritten erreicht hat. Die mathematische Beschreibung eines ganzen Tennismatchs besteht in einem großen Schema, in dem jeder Spielstand durch einen Kringel dargestellt wird und jeder Übergang – ein Spieler macht einen Punkt – durch einen Strich zwischen den entsprechenden Kringeln. An jeden Strich schreibt man die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses; auf diese Weise drückt man die Spielstärke des jeweiligen Spielers aus. Nun gilt es, die Wahrscheinlichkeiten für alle denkbaren Wege vom Ausgangspunkt (null Punkte für beide) bis zum Sieg für einen der Beteiligten zusammenzuzählen. Es stellt sich heraus, dass die Einstandregelung in der Tendenz auch kleine Unterschiede in den Spielstärken zu verschärfen pflegt.

Wenn der Computer würfelt

Als ehemaliger Gymnasiallehrer und Fachdidaktiker achtet Grabinger sorgfältig darauf, in seinen Ausführungen nicht über das Schulniveau hinauszugehen. Insbesondere scheut er vor der Verwendung von unendlichen Folgen und deren Grenzwerten zurück – und kann sie dann am Ende, wenn es etwas schwieriger wird, doch nicht ganz vermeiden. Nachdem er aber die eulersche Zahl e schon einführen muss, hätte er auch erwähnen können, dass die oben erwähnte Wahrscheinlichkeit der Selbstbewichtelung gleich 1/(1–e) ist, jedenfalls im Grenzfall unendlich großer Wichtelgruppen.

Besonderen Wert legt Grabinger darauf, seinen Leserinnen und Lesern Mittel an die Hand zu geben, mit denen man seine Aussagen am konkreten Beispiel bestätigen kann. Und da es ausgesprochen nervig ist, tausendmal einen Würfel zu werfen und die Ergebnisse mitzuschreiben, nimmt er – was sonst – den Computer zu Hilfe. Eigentlich wäre jetzt ein klassisches Programm zu schreiben, aber das tut heute praktisch niemand mehr, schon weil die dafür erforderliche Software nicht leicht zugänglich ist. Stattdessen wählt Grabinger einen kreativen Ausweg: eine Tabellenkalkulationssoftware. Und siehe da: Excel und seine Konkurrenz enthalten nicht nur einen Zufallszahlengenerator, um das Würfeln zu imitieren, sie führen auch im Hintergrund die erforderlichen Berechnungen aus – man muss nur die Tabelleneinträge mit den richtigen Vorschriften hinterlegen. Ich habe ob dieser Zweckentfremdung zunächst den Kopf geschüttelt, muss aber zugeben, dass sie ihren Zweck erfüllt, und zwar mit geringem Aufwand.

Man kann auf diese Weise sogar das benfordsche Gesetz verifizieren, demzufolge in einer großen Menge von Zahlen die kleinen Anfangsziffern, allen voran die Eins, wesentlich häufiger auftauchen als die großen. Wer das nicht beachtet, könnte sich etwa beim allzu kreativen Ausfüllen der Steuererklärung Ärger einhandeln. Was Grabinger uns nicht erzählt: Das gilt für Zahlen, deren Größenordnungen über mehrere Zehnerpotenzen variieren; dabei kommt es nicht darauf an, ob sie vom Zufall abhängen. Deswegen funktioniert seine Tabellenkalkulation auch für die Fibonaccizahlen, die vom Zufall gänzlich frei sind.