Räumliche Geometrie

Eine Reise durch die anschauliche und doch überraschende Welt der dreidimensionalen Geometrie.

© Christoph Pöppe (Ausschnitt)

Rechts–links, vorne–hinten, oben–unten: Räumliche Beziehungen in ein rechtwinkliges Koordinatensystem einzuordnen, fällt uns nicht schwer. Unser Vorstellungsvermögen wird schon mehr gefordert, wenn es darum geht, Spiegelungen um irgendwie schräg im Raum liegende Ebenen nachzuvollziehen oder einen sternförmigen Körper in seine Bestandteile zu zerlegen. Etwas elementare Geometrie und, vor allem, Symmetrieüberlegungen werden uns dabei hilfreich sein.

© Christoph Pöppe (Ausschnitt)

Räumliche Geometrie

Die "Serienhelden" sind die fünf platonischen Körper. Sie sind so symmetrisch wie überhaupt nur möglich. Deswegen haben sie unweigerlich bei jeder besonders schönen räumlichen Anordnung ihre Finger im Spiel. Hier sind sie, zusammen mit einigen ihrer wesentlichen Eigenschaften:

	Tetraeder	Oktaeder	Würfel	Dodekaeder	Ikosaeder
Anzahl der Flächen	4	8	6	12	20
Anzahl der Kanten	6	12	12	30	30
Anzahl der Ecken	4	6	8	20	12
Winkel zwischen benachbarten Flächen	ca. 70°	ca. 110°	90°	ca. 118°	ca. 140°

Dualität

Dualität:

Wenn man die Flächenmittelpunkte eines platonischen Körpers durch Kanten verbindet, und zwar immer die Mittelpunkte der Flächen, die eine Kante gemeinsam haben, dann entsteht ein anderer platonischer Körper, zum Beispiel aus dem Würfel das Oktaeder und aus dem Oktaeder der Würfel. Daher heißen Oktaeder und Würfel "dual" zueinander. Das Ikosaeder und das Dodekaeder sind ebenfalls dual zueinander; das Tetraeder ist dual zu sich selbst. Die Bilder zeigen Paare zueinander dualer Körper. Dabei ist der kleinere von beiden (derjenige, der durch Verbinden der Flächenmittelpunkte entsteht) so vergrößert, dass beide Partner genau zueinander passen: Jede Kante des einen Partners trifft genau in ihrer Mitte eine Kante des anderen Partners, und die beiden Kanten stehen senkrecht aufeinander.

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