Kommentare - - Seite 55

Ich finde die folgende Begründung etwas anschaulicher:
An jeder Ecke eines Polyeders treffen mindestens drei Vielecke aufeinander. Die Summe der Innenwinkel an der Körperecke muss kleiner als 360° sein, denn bei genau 360° entsteht ein ebenes Parkett.
Für einen platonischen Körper kommen nur identische regelmäßige Vielecke in Frage.
Da jeder Innenwinkel im gleichseitigen Dreieck 180°/3 = 60° groß ist, können es nur drei, vier oder fünf Dreiecke sein, die in einer Körperecke zusammenkommen. Für das Quadrat mit seinen 90°-Winkeln können es nur drei Flächen pro Ecke sein. Für das regelmäßige Fünfeck mit Innenwinkeln von 540°/5 = 108° gilt dasselbe. Für Polygone mit mehr als vier Ecken gibt es keine Optionen.
Damit können die Ecken von platonischen Körpern genau fünf verschiedene Formen annehmen. Durch eine solche Ecke ist der Körper aber bereits eindeutig bestimmt, da der Körper konvex und alle anderen Flächen und Ecken identisch sein sollen.
Es kann also maximal fünf platonische Körper geben. Dass es diese auch tatsächlich alle gibt, lässt sich plastisch leicht nachweisen (und trägt enorm zur Schönheit der Mathematik bei).

Vielen Dank für diesen äußerst interessanten Artikel.
Dann dürfte also zumindest einigen Geheimdiensten klar sein ob Nordkorea über Atomwaffen verfügt oder nicht.
Presseberichten in einigen Leitmedien war jedenfalls zu entnehmen, dass ihnen diese Möglichkeit der Erkenntnis nicht bekannt war.

Ein sehr interessanter Artikel.
im Text findet sich eine Stelle, an der Laien, wie ich leicht stolpern.
"... Damit ist man fast am Ziel ..." und kurz darauf "... Damit ist man am Ziel ..."
Da es ein scrollbarer Text ist, der zudem ziemlich komplexe Formeln enthält, wäre ein Vermeiden dieser Beinahe-Doppelung schöner gewesen.
Zum Beispiel:
"... Damit ist man fast am Ziel ..." und kurz darauf "... Jetzt [bzw. Hier] ist man [endlich] am Ziel ..."

Für die "Zerklüftetheit" einer Fläche gibt es ja ein Maß. In seinem Buch "die fraktale Geometrie der Natur" beginnt Benoit Maldelbrot mit der berühmten Frage: how long ist the coast of Britain? Mathematisch gesehen unendlich, aber ein Nebenresultat war, dass man dem Königreich eine fraktale Dimension zuordnen kann. Eine Gerade hat Dimension 1, je mehr sie zerklüftet ist, um so mehr nähert sie sich der 2. Wie geht man vor? Man nimmt einen Stab, legt ihn irgendwo an der Küste an und beginnt am Endpunkt aufs neue, bis man die Fläche einmal umrundet hat. Dann halbiert man den Stab und muss entsprechend öfter anlegen. Aus der sich hierbei ergebenden Folge ist die Dimension ableitbar.
Wenn nun verlangt würde, dass alle Wahlkreise unter der Dimension von sagen wir 1,2 bleiben, dann wäre Gerrymandering unmöglich.

Wahlgerechtigkeit mit Mathematik. Das geht!

... des Weiteren steht da: "Da n und m natürliche Zahlen sind und größer als drei sein müssen" ... gemeint ist sicher "größer oder gleich drei" bzw. "größer als zwei"

Herzliche Grüße
Holger Hähnel

Liebes Spektrum-Team,

im Beitrag "Es gibt nur fünf perfekte Körper" wird geschrieben: "1/3+1/6<1/2", was natürlich nicht stimmt.
Besser wäre vielleicht so etwas zu schreiben wie:"... 1/3+1/6=1/2 ist, so dass die Ungleichung nicht erfüllt ist."

Ansonsten ein sehr schöner Beitrag, danke dafür!

Herzliche Grüße
Holger Hähnel

Der Beweis für die Fünfzahl der plat. Körper ist schön, aber wieso lässt er sich nicht auf die konvexen Deltaeder ausdehnen? (Körper, die nur aus Dreiecken bestehen, aber es dürfen an den Ecken unterschiedliche Anzahlen von Kanten bzw. Flächen zusammenstoße. Einfachstes Beispiel: die trigonometrische Bipyramide). Rechnerisch sollte es zum Beispiel möglich sein, einen Polyeder mit 7V, 10F, 2 Dreierecken, 1 Viererecke und 4 Fünferecken zu bauen. GEht aber nicht! Vgl. http://paarpraxis-rheinmain.de/W/Geometrie/problem.html

Der Artikel ist sehr fein, vielen Dank, und für alle, "die sich auskennen" völlig klar. Trotzdem fände ich es konsequent Punkte als Punkte anzuschreiben.
Etwa: ... welche die y-Achse im Punkt (10|12) [statt zwölf] schneidet. ... bei 12 schneidet ginge natürlich auch.
Oder: ... schneidet die y-Achse im Punkt (0|c) [statt c].
Freundliche Grüße aus Oberösterreich

Liebe Redaktion,
Danke für den schönen Beitrag. Ich erwische mich auch häufig bei Ausreden und arbeite daran. Das Buch bei Amazon zu verlinken ist allerdings nicht schön, wenn man deren Praktiken im Buchhandel verfolgt.

Herzliche Grüße

David Pothmann

Ein Würfel (Quader ist nicht präzise, da ungleich lange Kanten und ungleich große Flächen) hat 8 Ecken, 6 Flächen und 12 Kanten. Ein Pentagondodekaeder (nicht Trigon-) hat 20 Ecken, 12 Flächen und 30 Kanten. Ein Trigonikosaeder hat 12 Ecken, 20 Flächen und 30 Kanten. Die Euler´sche Formel gilt also.

Grüß Gott!
Die Koordinaten des Punktes auf Seite 77 sind (-11|-4). Das Minus bei 4 ging verlorfen.

An der Aussage „beängstigend war, dass Frankreich, USA und Co nicht wussten, wie viele die Wehrmacht davon produzierte“, zeigt sich leider wieder einmal, dass Naturwissenschaftler oft wenig Ahnung von Geschichte haben. Die entscheidenden Mächte auf westlicher Seite waren Großbritannien und die USA. Das bereits im Juni 1940 von Nazi-Deutschland als Kriegspartei ausgeschaltete Frankreich musste durch die Landung dieser beiden Alliierten (sowie größerer Truppenverbände aus Kanada und kleinerer Einheiten verschiedener Länder, die auf alliierter Seite eingegliedert waren) in der Normandie gerade von deutscher Besatzung befreit werden. Frankreich hier also als Akteur auf westlicher Seite hervorzuheben, Großbritannien aber zu verschweigen (bzw. unter „und Co“ abzuhandeln), ist ausgesprochen irreführend.

Ich hätte eine Frage zum letzten Absatz, es geht um die Zerteilung des Wahlkreises Münster Zentrum. Habe ich den Artikel richtig verstanden, dass wenn eine Hochburg zerteilt wird, die Zahl der verschwendeten Stimmen für die Hochburgpartei sinkt? Es werden also mehr Wahlkreise von der Hochburgpartei beeinflusst. Demanch hat die Landesregierung hier nicht zu ihrem eigenen Vorteil gehandelt. Ob das beabsichtig war?

"Wenn ihr diesen Artikel gelesen habt, werdet ihr euch hinterher mächtig für Mathematik interessieren".Alleine dieser Satz ist schon sehr vermessen. Es hat mich nie interessiert und wird mich auch nie interessieren. Entweder man ist der Zahlentyp oder der kreative Typ. Punkt.

Wie bereits Hr Gutwein anmerkt, kann es sich bei dem beschriebenen Panzer nicht um den Panther handeln, den man seitens der Wehrmacht als neuen Panzertyp in dieser Form überhaupt erst ins Auge fasste, nachdem man im Zuge des Angriffs auf Russland dort ab 1941 auf den überlegen konstruierten T-34 gestoßen war.
Das erste gefertigte Prototypmodell des Panther stammt vom Sptember 1942.

Jedenfalls ergibt sich für mich auch ein Fehler im logischen Ansatz. Bei der Produktion eines neuen Panzertyps wird es naheliegend zunächst enorme Anlaufschwierigkeiten mit neuen Fertigungsweisen, Arbeitstechniken und Maschinen geben, danach schnelle Lernkurve der Arbeiter, Rationalisierung der Herstellung, und dann Produktionsausweitung auf weitere Fertigungsstätten. Dies legt eine teilweise exponentiell steigende Produktion nahe, jedenfalls spricht das deutlich gegen die hier angenommene Produktion linearer Stückzahlen.

Vielleicht ging es um Panzerproduktion überhaupt? Dann aber passt der Text nicht. Bzw die Geschichte dazu.
An sich interessante mathematische Fragestellung, aber mir erscheint der Inhalt dieses Artikels insgesamt nebulös und unsauber. Passt gar nicht zu den allgemein sehr guten Artikeln auf Spektrum.