In der letzten Folge habe ich Ihnen von allerlei geometrischen Körpern erzählt, die von lauter gleichseitigen Dreiecken begrenzt sind. Das beschränkt sich nicht nur auf die platonischen Körper Tetraeder, Oktaeder und Ikosaeder: Sowie man nicht mehr darauf besteht, dass alle Ecken dieser Polyeder gleichartig sind, ergibt sich eine Fülle von neuen, zum Teil bizarren Formen. Die meisten von ihnen sind nicht konvex: Sie haben einspringende Ecken, das sind solche, die man nicht mit dem Tisch in Berührung bringen kann, einerlei, wie man das Polyeder auf den Tisch legt. Oder verschärft: Manche Polyeder haben Löcher!

Wie konstruiert man solche Körper? Zum Beispiel durch Zusammensetzen aus elementaren Bausteinen. Wenn diese Bauklötze selbst regelmäßig gebaut sind, fügen sie sich vielleicht ganz von alleine zu Ringen oder noch komplizierteren Formen. Das gelingt zum Beispiel mit der Kuppel aus 22 Oktaedern, die ich Ihnen das letzte Mal beschrieben habe.

Wie weit lässt sich dieses Prinzip treiben? Eine wesentliche Bedingung war, dass gegenüberliegende Seitenflächen einerseits parallel, andererseits entgegengesetzt orientiert sind. Das gilt für das Ikosaeder ebenso wie für das Oktaeder. Die Erfüllung dieser Bedingung reicht noch nicht ganz zum Ring, aber immerhin zu einem fünfgliedrigen Teilstück, das zwei Seitenflächen in einer gemeinsamen Ebene hat. Daher kann es durch sein Spiegelbild bezüglich dieser Ebene zu einem zehngliedrigen, allerdings ziemlich eckigen, rautenförmigen Ring ergänzt werden.

Oder man stellt fest, dass die beiden äußersten Glieder der Fünferkette durch eine gemeinsame Symmetrieebene halbiert werden. Spiegelt man bezüglich dieser Ebene, so erhält man einen noch etwas eckigeren Rautenring aus acht Gliedern. Steven Dutch, Professor an der University of Wisconsin in Green Bay, hat sie für das Oktaeder und das Ikosaeder auf seiner Webseite abgebildet.

Dieses Verfahren zur Konstruktion eines Rautenrings funktioniert für viele elementare Bausteine, darunter alle platonischen Körper. (Na gut, mit dem Würfel wird das Spiel wahrscheinlich etwas langweilig.) Von einer so konstruierten Raute kann man wieder viele Exemplare aneinanderfügen. Das gibt Polyeder mit beliebig vielen Löchern, "Ameisenhügel", wie der japanische Polyederspezialist Koji Miyazaki sie nennt (siehe "Uniform Ant-hills in the World of Golden Isozonohedra" von Koji Miyazaki und Ichiro Takada, Structural Topology, Band 4, Seiten 21 bis 30).

Die Ameisenhügel, die Miyazaki aus Dodekaedern baut, haben lauter keilförmige Spalte zwischen gewissen Elementarklötzen. Wenn man nämlich auf zwei benachbarte Flächen eines Dodekaeders gleich große Dodekaeder aufsetzt, passen diese beiden nicht lückenlos zusammen, sondern lassen diesen Spalt zwischen sich; ich finde ihn nicht so ansehnlich. Da sind die Konstruktionen aus Dodekaedern, die Stephan Werbeck aus Wuppertal entworfen hat, wesentlich eindrucksvoller. Die Dodekaeder-Fünferwurst mit den Symmetrieebenen ist nur eines von zahlreichen verschiedenen Bauteilen. Schauen Sie auf seine Website!

Ich selbst habe mit wesentlich weniger Dodekaedern geschlossene Körper gebaut, und zwar mit allen Symmetrieklassen: Tetraeder-, Oktaeder- und Ikosaeder-Symmetrie. Der Haken dabei: Es sind keine ganz regelmäßigen Dodekaeder. Damit sie zu (Fünfer-, Sechser- oder Achter-)Ringen zusammenpassen, habe ich sie geringfügig abgefälscht. Insbesondere habe ich einzelne Bauteile so "angedickt", dass der oben erwähnte Spalt sich schließt. Das ist nicht so ganz nach den Sitten der Geometer; aber man sieht es kaum, und die fertigen Gebilde sind sehr ansehnlich. Spektrum der Wissenschaft hat ein Sonderheft mit Bastelbögen für diese "Fast platonischen Körper" herausgebracht. Einige wenige Restexemplare sind noch zu haben.

Für Ikosaeder gibt es noch einen hübschen Trick, den Christian Storbeck aus Berlin gefunden hat, nachdem er auf dem Münchener Geometriewochenende meinen Oktaederring gesehen hatte. Man füge nicht ganze Ikosaeder aneinander, sondern eingedellte: Man drücke eine Ecke eines Ikosaeders nach innen, das heißt, man ersetze ein Fünferhütchen des Ikosaeders durch ein einwärts gerichteten Fünferhütchen. In die entstandene Delle passt das andere Ikosaeder genau hinein. Oder dasselbe anders ausgedrückt: Von zwei Ikosaedern trenne man durch einen ebenen Schnitt je ein Fünferhütchen ab und setze sie mit den Schnittflächen aufeinander.

Durch geschickte Wahl der Schnittflächen gelingt es in der Tat, eine ziemlich pralle Ringwurst aus zwölf Ikosaedern zu konstruieren. Ich habe natürlich gleich versucht, nach dem Muster der Oktaederkuppel in den Ring weitere Ringe einzuhängen, bin allerdings nicht besonders weit damit gekommen.

Was ist mit dem biedersten aller platonischen Körper, dem Würfel? Taugt er als Baustein für irgendwelche nicht-konvexen Polyeder, die nur von Quadraten begrenzt werden? Die erste Antwort ist: Nicht besonders. Wenn man zwei Würfel Fläche auf Fläche aufeinander setzt, dann geraten jeweils zwei benachbarte Quadrate in eine Ebene, bilden also zusammen ein Rechteck, das doppelt so lang wie breit ist, und damit sind die Quadrate als Grenzflächen eigentlich nicht mehr unter sich.

Aber man kann ja auf jede Fläche eines Würfels einen weiteren aufsetzen, sodass der Urwürfel vollständig im Inneren des Gebildes verschwindet. Dann ergibt sich eine Art dreidimensionales Kreuz aus Würfeln, und alle Grenzflächen sind wieder Quadrate.

Das Verfahren lässt sich verallgemeinern. Man setze auf jede Fläche des Urwürfels eine ganze Pyramide aus kleinen Würfeln oder, was auf dasselbe hinausläuft, man fülle ein großes Oktaeder mit lauter kleinen Würfelchen in der richtigen Orientierung.

Ob es nun ein Oktaeder ist, das man mit Würfelchen füllt, oder eine andere Form: Wichtig ist, dass nirgends zwei Würfel Fläche an Fläche benachbart auftreten dürfen, jedenfalls nicht an der sichtbaren Oberfläche. Diese Vorschrift führt auf ein probates Rezept zur Konstruktion von Körpern, die nur durch Quadrate begrenzt sind. Man erinnere sich an die Füllung des Raums mit Würfeln, die ich in den ersten Folgen so reichlich verwendet habe: dicht an dicht gepackt und abwechselnd schwarz und weiß, wie im Schachbrett. Ein Körper, der nur aus weißen Würfeln besteht (oder nur aus schwarzen), wird mit Sicherheit nur von Quadraten begrenzt, weil sich nirgends zwei (oder mehr) Quadrate zu Rechtecken (oder Schlimmerem) ergänzen können.

Und wenn man jetzt alle unendlich vielen weißen Würfel nimmt, die es überhaupt gibt? Dann haben wir ein unendlich ausgedehntes Polyeder, das nur von Quadraten begrenzt wird.

Na ja. Ich gebe zu, das ist nicht gerade das, was man sich unter einem Polyeder vorstellt, und auch sonst etwas gewöhnungsbedürftig. Zum Beispiel ist es ziemlich sperrig: Es passt selbst dann nicht ins Wohnzimmer, wenn man als Kantenlänge des Elementarwürfels einen Millimeter wählt. Man kann es sich auch nicht von außen ansehen, jedenfalls nicht im üblichen Sinne. Denken Sie an Würfel mit einer Kantenlänge von zwei Metern. Das Innere unseres Polyeders besteht aus allen weißen Würfeln, und das Äußere? Das ist alles, was nicht das Innere ist, und das sind in diesem Falle alle schwarzen Würfel. Wenn wir uns also im Äußeren des Polyeders befinden, sehen wir uns in einer würfelförmigen Zelle, allseits von weißen Quadraten umgeben, und das war's schon. Dass zum Äußeren noch unendlich viele weitere Zellen gehören, sehen wir nicht.

Aber mal abgesehen von den Schwierigkeiten bei der konkreten Realisierung: Abstrakt gesehen ist der Körper etwas vom Regelmäßigsten. Er wird nicht nur von lauter gleichen, regelmäßigen Vielecken (nämlich Quadraten) begrenzt, sondern es sind auch noch alle Ecken gleich! In jeder Ecke treffen sich sechs Quadrate, die nach demselben Muster angeordnet sind. Zum platonischen Körper fehlt ihm nur noch, je nach Auffassung, die Konvexität oder die Beschränktheit. Und wer wollte schon einem Gebilde das Attribut der Vollkommenheit verwehren, bloß weil es nicht in ein beschränktes Volumen passt? In der Tat zählen manche Autoren, so der große alte Harold Scott MacDonald Coxeter, unendliche Polyeder der beschriebenen Art zu den platonischen Körpern.

Von der Sorte gibt es wieder eine ganze Menge! Kaum zu glauben, aber wahr: Auch die Mathematiker haben noch keinen vollständigen Überblick über die "unendlichen platonischen Körper" (wobei man sich hier auch noch über die genaue Definition streiten kann). Der Architekturprofessor Dirk Huylebrouck aus Brüssel hat das Sortiment durch eine Zusatzbedingung eingeschränkt und konnte unter dieser Bedingung eine (wahrscheinlich) vollständige Aufzählung liefern; aber ganz sicher ist das noch nicht. Ich habe darüber einen Artikel geschrieben.

Wie kommt man überhaupt (zunächst ohne Anspruch auf Vollständigkeit) an unendliche Polyeder? Die Raumfüllungen, die ich Ihnen in den ersten drei Folgen beschrieben habe, bieten eine gute Konstruktionsgrundlage. Nehmen Sie die Raumfüllung aus Tetraedern und Oktaedern und lassen Sie die Tetraeder weg. Dann ergibt sich ein unendlicher platonischer Körper aus lauter Dreiecken, von denen sich in jeder Ecke 24 Stück treffen. (In jeder Ecke stoßen sechs Oktaeder zusammen und in jeder Ecke eines Oktaeders vier Dreiecke.)

Oder lassen Sie die Oktaeder weg und behalten Sie nur die Tetraeder. Das ergibt denselben Körper "von der anderen Seite gesehen": Inneres und Äußeres sind vertauscht.

Steven Dutch interessiert sich besonders für unendliche Polyeder, die echten Kristallen entsprechen. Deswegen dünnt er die Tetraeder-Oktaeder-Raumfüllung noch weiter aus: Er lässt nicht nur sämtliche Tetraeder weg, sondern auch noch jedes zweite Oktaeder. Die verbleibenden Oktaeder macht er "hohl", indem er von deren acht Flächen zwei entfernt. Es bleibt ein unendliches Polyeder, in dem sich in jeder Ecke neun gleichseitige Dreiecke treffen.

Es handelt sich um die Kristallstruktur von Spinell (MgAl₂O₄), sagt Steven Dutch. Die Aluminiumatome sitzen in den Mittelpunkten der Oktaeder, die Magnesiumatome in den Mittelpunkten der Tetraeder und die Sauerstoffatome an den Ecken der Oktaeder.

Die Raumfüllung durch Oktaederstümpfe (siehe Folge 3 "Neue Raumfüller") gibt einen weiteren unendlichen platonischen Körper. Man lasse aus dieser Raumfüllung "jeden zweiten" Oktaederstumpf weg, und zwar so, dass nur Sechsecke, niemals aber Quadrate zutage treten. Oder, was auf dasselbe hinausläuft: Man nehme sich einen Vorrat von Oktaederstümpfen und setze sie mit ihren quadratischen Seitenflächen aufeinander, während man die sechseckigen frei lässt. Für einen klassischen, konvexen Körper sind drei Sechsecke um einen Eckpunkt schon etwas zu viel des Guten, denn sie liegen alle in einer Ebene. Aber dieser Körper besteht nur aus Sechsecken, von denen sogar vier Stück um eine Ecke passen.

Er ist deutlich angenehmer als die beiden oben vorgestellten Körper: Wenn Sie sich in seinem Äußeren befinden, kriegen Sie nicht so leicht Platzangst, weil Sie nicht in eine Zelle eingesperrt sind. Sie stecken zwar auf den ersten Blick in einer Oktaederstumpf-förmigen Zelle; aber durch quadratische Löcher können Sie in sämtliche Nachbarzellen schwimmen und von dort aus so weit weg, wie Sie wollen. Das Innere des Körpers sieht übrigens genau so aus wie das Äußere.

Was ist mit dem Kollegen des Oktaederstumpfs, dem gleichfalls raumfüllenden Rhombendodekaeder? Aus ihm kann man auch ein unendliches Polyeder machen. Allerdings bestehen dessen Flächen nicht aus regelmäßigen Vielecken, sondern eben aus Rauten; es ist also weniger platonisch, und wahrscheinlich gibt es diese halb-edlen Gebilde wie Sand am Meer – zu unübersichtlich, als dass sich jemand die Mühe machen würde, sie erschöpfend zu klassifizieren. Aber sei's drum: Dieser unendliche Rautenkörper hat seinen eigenen Reiz.

An jede Kante der Rhombendodekaeder-Raumfüllung grenzen drei Rautenflächen; von denen dürfen nur zwei übrig bleiben. Also muss man jedes dritte Rhombendodekaeder rauswerfen? Das funktioniert nicht. Stattdessen muss man von den zwölf Flächen jedes Rhombendodekaeders sechs weglassen, und zwar folgendermaßen: Das Rhombendodekaeder hat spitze und stumpfe Ecken. In den spitzen treffen sich vier spitze Rautenecken und in den stumpfen drei stumpfe. Man nehme eine stumpfe Ecke und die ihr genau gegenüberliegende und nehme beide Ecken samt den jeweils drei an sie grenzenden Flächen weg. Übrig bleibt ein sechsteiliger "Gürtel" aus Rauten, die im Zickzack – eine aufwärts, eine abwärts – aneinandergrenzen. Aus solchen Gürteln setzt sich der unendliche Rautenkörper zusammen. In seinen stumpfen Ecken treffen sich je vier stumpfe Rautenecken und in seinen spitzen Ecken je sechs spitze. Und schon vom Ansehen kann einem leicht schwindlig werden.

Ich habe den Körper in einem Buch dreier Architekten aus Haifa (Israel) gefunden (s. Literaturhinweise), und die wiederum sind auf sehr kuriose Weise auf die Idee gekommen: Sie betrachteten Minimalflächen. Dafür interessiert sich ein Architekt, weil diese geschwungenen Konstruktionen wie das Dach des Münchener Olympiastadions (näherungsweise und stückweise) Minimalflächen sind, sprich unter allen in eine Randkurve passenden Flächen den kleinsten Flächeninhalt haben. Man kann Minimalflächen bruchlos aneinanderstückeln, wenn sie gewisse Symmetriebedingungen erfüllen. Unsere Architekten fanden Minimalflächen, die sich über die Symmetrie der Raumfüllung mit Würfeln unendlich fortsetzen ließen. Und da ihnen die gekrümmten Minimalflächen zu unhandlich waren, ersetzten sie sie durch Näherungen, die aus ebenen Flächen bestanden – und landeten bei dem unendlichen Rautenkörper!

Auch bei ihm sehen übrigens das Äußere und das Innere genau gleich aus. Beide teilen sich den gesamten dreidimensionalen Raum "zu gleichen Teilen"; die Aussage ist bei einem unendlichen Volumen mit Vorsicht zu genießen, aber hier trifft sie in jedem vernünftigen Sinn zu. Mann stelle sich vor, zwei Ameisenvölker bewohnen ein und denselben Ameisenhaufen. Sie können einander nicht ausstehen, und jede Ameise, die sich auf fremdes Territorium begibt, wird auf der Stelle totgebissen. Diese kriegerische Grundhaltung steht einer friedlichen Koexistenz nicht im Wege! Es genügt, wenn die Ameisen zwischen ihren Gebieten eine Trennwand nach dem Muster des unendlichen Rautenkörpers einziehen. Jedes Volk hat reichlich (im Prinzip unendlich viel) Platz zur Verfügung, und dass der etwas verwinkelt gebaut ist – was schadet das?

Das Konzept eignet sich hervorragend für öffentliche Veranstaltungen mit viel Laufkundschaft. Laden Sie jeden ein, der vorbeikommt, dem "Ameisenhaufen der friedlichen Koexistenz" einen weiteren Sechserring aus Rauten anzukleben und damit zum weiteren Gedeihen zu verhelfen. Das habe ich auf der "ideenExpo" in Hannover 2011 mit großem Erfolg durchgeführt; Einzelheiten hier.

Der Kristallograph Alexander F. Wells hat in den sechziger und siebziger Jahren die unendlichen Polyeder intensiv untersucht und dabei erstaunliche Gebilde gefunden (A. F. Wells: Three-dimensional nets and polyhedra; Wiley 1977). Auf den zitierten Webseiten von Steven Dutch gibt es allerlei Beispiele zu besichtigen. Am verblüffendsten finde ich ein Polyeder aus lauter Quadraten, fünf um jede Ecke.

Man kann sich diesen Körper auf verschiedene Art aus elementaren Bauteilen zusammengesetzt denken. Das eine Bauteil ist ein Würfel, dessen Boden- und Deckelfläche unangetastet bleiben, während auf die vier Seitenflächen je ein "Giebel", sprich ein dreiseitiges Prisma mit quadratischen Wänden, aufgesetzt wird. Es bleiben vier "Löcher", bestehend aus je zwei Dreiecken, die noch verschlossen werden müssen, wenn das Endprodukt aus lauter Quadraten bestehen soll. Und siehe da: Ein Loch eines Bauteils passt, geeignet verdreht, genau auf ein Loch eines anderen Bauteils, und zwar so, dass die vier Dreiecke der beiden Löcher gerade ein Tetraeder bilden. Sechs solcher Bauteile schließen sich zum Ring.

Oder man erklärt ein sechsseitiges Prisma mit quadratischen Wänden zum elementaren Bauteil. Die werden so aneinandergesetzt, dass die Lücken zwischen ihnen mit einfachen Quadraten zu verschließen sind. Aber bis man sieht, dass beide Bauvorschriften auf denselben Körper hinauslaufen, vergeht eine Weile.

Und wenn Sie sich zum Schluss auf Dutchs Webseite das Diamant-Kristallgitter anschauen (viertes Bild von oben, das zweite mit der Kennung 3^8): Siehe da, das ist meine Oktaederkuppel, aber diesmal unendlich ausgedehnt.

Weitere unendliche Polyeder findet man auf der Website http://www.superliminal.com/geometry/geometry.htm. Darunter eines, in dem sich in jeder Ecke fünf reguläre Fünfecke treffen (siehe auch meinen "Spektrum"-Artikel zum Thema). Wenn Sie schon mal auf der Website sind: Schauen Sie sich doch mal die zweidimensionalen Kunstwerke an, die mit dem Applet Tyler gemacht sind. Ist nicht unser Thema (sie sind ja nur zweidimensional), aber eindrucksvoll!

Kommentare und Anregungen sind wie immer stets willkommen!

Herzlich Ihr

Christoph Pöppe
Redakteur bei Spektrum der Wissenschaft

Literaturhinweise für diese Folge:

M. Burt, M. Kleinmann, A. Wachman: Infinite regular polyhedra. Technion, Faculty of Architecture and Town Planning, Haifa 1974.
A. Wachman, M. Burt, M. Kleinmann: Infinite polyhedra. Technion, Faculty of Architecture and Town Planning, Haifa 1974.

Lexika-Link:
Spinelle