»50 Tiere – Hasen und Hühner – haben zusammen 122 Füße. Um wie viele Hasen und wie viele Hühner handelt es sich?«

Diese Frage stammt aus dem Jahr 1743 und steht auf einer Holztafel in einem japanischen Tempel. Sie war eine von vielen »Sangaku«, die vom 17. bis ins späte 19. Jahrhundert in Japan populär waren. Damals brachten die Menschen solche Tafeln mit mathematischen Problemen als Opfergaben dar. Die Rätsel dienten zudem dazu, Pilger zu unterhalten und zur Beschäftigung mit Mathematik zu animieren.

Zu den Sangaku gehört auch diese Formel:

Sie ist nötig, um den »Japanischen Satz« zu beweisen. Das Problem beginnt mit einem triangulierten konvexen Polygon. Das klingt ein wenig komplex, ist aber eigentlich einfach, wenn man genauer darüber nachdenkt.

Ein Polygon ist nichts anderes als ein Vieleck. Man zeichnet also ein paar Punkte – mindestens drei – und verbindet sie durch gerade Linien miteinander, so dass am Ende ein geschlossener Streckenzug entsteht. Dreiecke oder Quadrate sind Polygone. Sie können auch unregelmäßig verlaufen und aus nicht gleich langen Seiten bestehen. Wenn die Innenwinkel eines Polygons stets kleiner sind als 180 Grad, spricht man von konvex.

Das konvexe Polygon müssen wir nun triangulieren. Das heißt, wir unterteilen die Polygonfläche durch Verbindungslinien zwischen den Punkten in Dreiecke. Wenn wir anschließend in jedes dieser Dreiecke den Inkreis zeichnen – also den Kreis, der alle Seiten von innen genau einmal berührt – und die Summe all dieser Radien bilden, dann ist das Ergebnis immer gleich. Egal, auf welche Weise man das Polygon trianguliert.

Das ist überraschend. Denn die unterschiedlichen Wege, das Polygon in Dreiecke aufzuteilen, führen natürlich zu unterschiedlich großen Dreiecken, in die dann unterschiedlich große Kreise eingeschrieben werden müssen. Und trotzdem ist die Summe aller Kreisradien am Ende gleich.

Wie der Satz von Carnot funktioniert

Man kann das auf eine Holztafel schreiben und in einen Schrein hängen – wenn man es aber mathematisch exakt beweisen will, benötigt man die oben gezeigte Formel. Sie beschreibt den »Satz von Carnot«, den der französische Mathematiker Lazare Carnot zu Beginn des 19. Jahrhunderts formuliert hat. Auch hier geht man von einem Dreieck aus, gebildet aus den Punkten A, B und C. Der Umkreis des Dreiecks hat den Radius R und den Mittelpunkt O, der Inkreis den Radius r. Zeichnet man nun ausgehend von O Linien, die die Seiten des Dreiecks im rechten Winkel treffen, erhält man die Punkte K, L und M.

Der Satz von Carnot besagt nun, dass die Summe der Distanzen zwischen diesen Punkten und dem Mittelpunkt O gleich der Summe von Umkreis- und Inkreisradius ist. Im Detail muss man noch berücksichtigen, ob der Umkreismittelpunkt innerhalb oder außerhalb des Dreiecks liegt, und die Vorzeichen der Abstände entsprechend anpassen.

Der Satz von Carnot ist zwar wie der Japanische Satz ein bisschen verwirrend, aber wenn man die Diagramme aufzeichnet, wie es auch auf den Sangaku üblich war, ist es leicht verständlich.

Aus heutiger Sicht mag der Brauch der Sangaku seltsam erscheinen – als würden wir Zettel mit mathematischen Rätseln in die Kirche hängen. Doch warum sollten sich Menschen nicht mit Mathematik beschäftigen, wenn sie beten oder auf Pilgerreise sind? Zwar ist die Unterhaltungsmathematik heute auch ohne Tempel oder Kirche auf der ganzen Welt populär. Aber es spricht auch nichts dagegen, die Aufgaben an religiösen Orten auszuhängen.

Und was das andere Sangaku betrifft, das mit den 50 Tieren und 122 Füßen. Die Lösung lautet: 11 Hasen und 39 Hühner.