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Lexikon der Mathematik: additive Kategorie

eine Kategorie 𝒜, die die folgenden zusĂ€tzlichen Eigenschaften erfĂŒllt:

(1) FĂŒr je zwei Objekte X und Y aus 𝒜 ist Mor(X, Y) eine (additiv geschriebene) abelsche Gruppe, fĂŒr welche die Komposition der Morphismen bilinear ist, d. h., ∀f, fâ€Č : X → Y und ∀g, gâ€Č : Y → Z gilt \begin{eqnarray}(g+{g}^{^{\prime} })\circ (f+{f}^{^{\prime} })=g\circ f+g\circ {f}^{^{\prime} }+{g}^{^{\prime} }\circ f+{g}^{^{\prime} }\circ {f}^{^{\prime} }.\end{eqnarray}

(2) Die Kategorie besitzt ein Nullobjekt 0.

(3) FĂŒr jedes Paar von Objekten existiert das Biprodukt. Dabei heißt ein Objekt Z Biprodukt von X und Y, falls es Morphismen \begin{eqnarray}{p}_{1}:Z\to X,{p}_{2}:Z\to Y,{i}_{1}:X\to Z,{i}_{2}:y\to Z\end{eqnarray}

gibt mit \begin{eqnarray}{p}_{1}\circ {i}_{1}={1}_{X},{p}_{2}\circ {i}_{2}={1}_{Y},{i}_{1}\circ {p}_{1}+{i}_{2}\circ {p}_{2}={1}_{Z.}\end{eqnarray}

Ein Biprodukt ist sowohl ein Produkt als auch ein Koprodukt im kategoriellen Sinne. In manchen additiven Kategorien wird es auch direkte Summe genannt.

Eine Kategorie, in der nur die Bedingung (1) gilt, heißt prĂ€additive Kategorie.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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