Garbe von _n𝒪-Moduln.

Ist ζ₀ ∈ ℂⁿ ein Punkt, so versteht man unter _n𝒪_ζ0 = (H_n)_ζ0 die ℂ-Algebra der konvergenten Potenzreihen in ζ₀. Ein beliebiges Element von _n𝒪_ζ0 hat die Gestalt \begin{eqnarray}\displaystyle {\sum }_{v=0}^{\infty }{a}_{v}{(\zeta -{\zeta }_{0})}^{v}\end{eqnarray}. Zu jedem Punkt ζ ∈ ℂⁿ gehört also eine ℂ-Algebra _n𝒪_ζ.

Die disjunkte Vereinigung \begin{eqnarray}{}_{n}{\mathscr{O}}:=\displaystyle \mathop{\cup }\limits_{\zeta \in {\Bbb{C}}^{n}}{}_{n}{\mathscr{O}}{}_{\zeta }\end{eqnarray}

aller dieser Algebren ist eine Menge über dem ℂⁿ, versehen mit einer natürlichen Projektion π : _n𝒪 → ℂⁿ, die eine Potenzreihe f_ζ jeweils auf den Entwicklungspunkt ζ abbildet. Es gibt eine natürliche Topologie auf _n𝒪, die π zu einer stetigen Abbildung macht und auf jedem „Halm“ _n𝒪_ζ die diskrete Topologie induziert: Ist f_ζ0 ∈_n 𝒪, so gibt es eine offene Umgebung U(ζ₀) ⊂ ℂⁿ und eine holomorphe Funktion f auf U, so daß die Reihe f_ζ0 in U gleichmäßig gegen f konvergiert. Die Funktion f läßt sich aber wiederum in jedem Punkt ζ ∈ U in eine konvergente Potenzreihe f_ζ entwickeln. f induziert daher eine Abbildung s : U → _n𝒪 mit den folgenden Eigenschaften:

Die ℂ-Algebren _n𝒪_ζ = π⁻¹ (ζ) nennt man die Halme der Garbe. Man kann zeigen, daß π lokal topologisch ist, und daß die algebraischen Operationen in _n𝒪 stetig sind. Eine analytische Garbe über einem Bereich D ⊂ ℂⁿ ist eine Garbe von _n𝒪-Moduln über D.