wichtiger Satz über den Zusammenhang zwischen Grad und Schnittvielfachheit von Kurven.

Sei X ⊆ ℙⁿ abgeschlossen, X ≠ ∅ . Dann ist der Grad von X in ℙⁿ definiert als die Multiplizität des affinen Kegels \(c{\mathbb{A}}(X)\subseteq {{\mathbb{A}}}^{n+1}\) in seiner Spitze 0: \(\deg (X):={\mu }_{0}(c{\mathbb{A}}(X))\). Seien X, Y ⊆ ℙ² abgeschlossene Kurven ohne gemeinsame irreduzible Komponente. Die Schnittvielfachheit μ_ρ (X · Y) von X und Y in p ist definiert als die Multiplizität des lokalen Ringes

\begin{eqnarray}{{\mathscr{O}}}_{{{\mathbb{P}}}^{2},p}/({I}_{{{\mathbb{P}}}^{2},p}(X)+{I}_{{{\mathbb{P}}}^{2},p}(Y)),\end{eqnarray}

wobei \({I}_{{{\mathbb{P}}}^{2},p}(X),{I}_{{{\mathbb{P}}}^{2},p}(Y)\subseteq {{\mathscr{O}}}_{{{\mathbb{P}}}^{2},p}\) die lokalen Verschwindungsideale seien. Dann gilt:

X ∩ Y ist endlich, und es gilt

\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{\rho \in X\cap Y}{\mu }_{\rho }(X\cdot Y)=\deg (X)\cdot \deg (Y).\end{eqnarray}

[1] Stephani, H.: General Relativity. Cambridge University Press, 1990.