Lexikon der Mathematik: Ck(Ḡ)
Menge der Funktionen \(f:\overline{G}\to {\mathbb{R}}\), für die f/G ∈ Ck(G) gilt und die partiellen Ableitungen bis zur Ordnung k von f sich stetig auf \(\overline{G}\) fortsetzen lassen, wobei G ⊂ ℝn offen sei.
\({C}^{0}(\overline{G})\) ist also gerade die Menge der stetigen reellwertigen Funktionen auf \(\overline{G}\), d. h. es gilt \({C}^{0}(\overline{G})=C(\overline{G})\cdot {C}^{k}(\overline{G})\) bildet mit der punktweise definierten Addition und Multiplikation von Funktionen eine Funktionenalgebra, die für beschränktes G mit der Norm
\begin{eqnarray}{\Vert f\Vert }_{{C}^{k}}=\displaystyle \sum _{|\alpha |\le k}{\Vert {D}^{\alpha }f\Vert }_{\infty }\quad\left(f\in {C}^{k}(\overline{G})\right)\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}|\alpha |={\alpha }_{1}+\cdots +{\alpha }_{n}\end{eqnarray}
gesetzt wurde, und\begin{eqnarray}{D}^{\alpha }f=\frac{{\partial }^{{\alpha }_{1}}\ldots {\partial }^{{\alpha }_{n}}}{\partial {x}_{1}^{{\alpha }_{1}}\ldots \partial {x}_{n}^{{\alpha }_{n}}}f\end{eqnarray}
die partielle Ableitungen der Ordnung höchstens |α| bezeichet. Mit der Maximumsnorm ∥ ⋅ ∥∞ ist \({C}^{k}(\overline{G})\) i.a. nicht abgeschlossen. Durch\begin{eqnarray}{f}_{n}(x)=\sqrt{{x}^{2}+\frac{1}{n}}\quad(x\in [-1,1])\end{eqnarray}
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