Lexikon der Mathematik: duale Abbildung
Selbstabbildung im Raum der linearen Abbildungen eines Vektorraums.
Es sei V ein reeller oder komplexer Vektorraum, V* der Vektorraum der linearen Abbildungen von V nach ℝ bzw. ℂ und A : V → V eine lineare Abbildung von V in sich. Setzt man für x* ∈ V* und x ∈ V
\begin{eqnarray}\lt x,{x}^{* }\gt \,:={x}^{* }(x),\end{eqnarray}
so gibt es genau eine lineare Abbildung A*: V* → V* mit der Eigenschaft, daß
\begin{eqnarray}\lt A(x),{x}^{* }\gt \,=\,\lt x,{A}^{* }({x}^{* })\gt \end{eqnarray}
für alle x ∈ V und x* ∈ V* gilt. Diese Abbildung A* heißt algebraisch duale Abbildung oder auch duale Abbildung zu A.Damit läßt sich beispielsweise ein Lösungssatz für Gleichungen der Form A(x) = y formulieren.
Die Gleichung A(x) = y ist genau dann lösbar, wenn für alle Lösungen x* der Gleichung A* (x*) = 0 gilt:
\begin{eqnarray}{x}^{* }(y)=0.\end{eqnarray}
Man vgl. auch das Stichwort Dualraum.
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