eine Zahl der Form \begin{eqnarray}{F}_{n}:={2}^{{2}^{n}}+1,\end{eqnarray}

wobei n ∈ ℕ₀. Die Zahl F_n wird genauer als als n-te Fermat-Zahl bezeichnet.

Fermat behauptete 1640 in einem Brief an Frenicle de Bessy, daß alle diese Zahlen F_n Primzahlen seien, wobei er allerdings einräumte, keinen Beweis für diese Behauptung zu besitzen. In der Tat sind F₀ = 3, F₁ = 5, F₂ = 17, F₃ = 257 und F₄ = 65537 Primzahlen, aber bereits \begin{eqnarray}{F}_{5}={2}^{{2}^{5}}+1={2}^{32}+1=4294967297\end{eqnarray}

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ist durch 641 teilbar, wie Euler 1732 durch eine kurze Rechnung mit Kongruenzen bewies: Wegen 5 · 2⁷ = 640 gilt \begin{eqnarray}{5}^{4}\cdot {2}^{28}={(5\cdot {2}^{7})}^{4}\equiv {(-1)}^{4}=1\,\,\mathrm{mod}\,\,641;\end{eqnarray}

andererseits gilt 641 = 2⁴ + 5⁴, also \begin{eqnarray}{5}^{4}\equiv -{2}^{4}\,\,\mathrm{mod}\,\,641.\end{eqnarray}

Daraus folgt \begin{eqnarray}1-{F}_{5}=-{2}^{32}=-{2}^{4}\cdot {2}^{28}\equiv 1\,\,\mathrm{mod}\,\,641,\end{eqnarray}

also ist F₅ ≡ 0 mod 641. Euler erhielt die Zerlegung \begin{eqnarray}{F}_{5}=641\cdot 6700417.\end{eqnarray}

Ein Beitrag zum tieferen Verständnis von Eulers Argument ist folgender Satz über die Primfaktoren der Fermat-Zahlen, den Lucas 1877 bewies:

Ist p eine Primzahl, die die n-te Fermat-Zahl (n ≥ 2) teilt, so gilt\begin{eqnarray}p\equiv 1\,\,\mathrm{mod}\,\,{2}^{n+2}.\end{eqnarray}

Setzt man hier n = 5, so kommen als Primteiler von F₅ nur die Primzahlen p ≡ 1 mod 128 in Frage, also p = 257, 641, 769,…. Nun ist aber 257 = F₃, und man beweist leicht:

Sind m ≠ n nicht-negative ganze Zahlen, so sind F_n und F_m teilerfremd.

Daher sind auch F₃ und F₅ teilerfremd; also ist 641 die erste Primzahl, die als Teiler von F₅ in Frage kommt.

Bis heute ist es eine offene Frage, ob es außer F₀,…,F₄ noch eine weitere Fermatsche Primzahl, d. h. eine Fermat-Zahl, die zugleich Primzahl ist, gibt. Die Schwierigkeit liegt darin, daß Fermat-Zahlen sehr schnell sehr groß werden, z. B. hat F₂₂ bereits mehr als 1.25 Millionen Dezimalstellen. Selbst für solche Zahlen nützlich ist das 1877 bewiesene Pepinsche Kriterium:

Für n ≥ 1 ist F_n genau dann eine Primzahl, wenn\begin{eqnarray}{3}^{{\scriptstyle \frac{1}{2}}({F}_{n}-1)}\equiv -1\,\,\mathrm{mod}\,\,{F}_{n}.\end{eqnarray}

1995 publizierten Crandall, Doenias, Norrie und Young einen darauf beruhenden Beweis, daß F₂₂ zusammengesetzt ist.

Gauß entwickelte bereits in jungen Jahren eine Konstruktion des regelmäßigen 17-Ecks mit Zirkel und Lineal. Später bewies er ganz allgemein, daß ein regelmäßiges n-Eck genau dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist, wenn \begin{eqnarray}n={2}^{r}\cdot {p}_{1}\cdot {p}_{2}\cdot \cdots \cdot {p}_{k},\end{eqnarray}

wobei r ≥ 0 eine ganze Zahl und p₁,…,p_k verschiedene Fermatsche Primzahlen sind. Eine Beschreibung der Konstruktion des regelmäßigen n-Ecks für n = F₄ = 65537 befindet sich am Mathematischen Institut der Universität Göttingen in einem Handkoffer, den Hermes (aus Königsberg) 1879 dort hinterlegte.