Metrik auf der Menge der Fréchet-Kurven.

Es sei M ein metrischer Raum mit der Metrik d. Dann heißen zwei stetige Abbildungen γ : [a, b] → M und y′ : [a′, b′] → M Fréchet-äquivalent, wenn zu jedem ε > 0 ein Homöomorphismus h : [a, b] → [a′, b′] existiert, so daß für jedes t ∈ [a, b] gilt:

\begin{eqnarray}d(\gamma(t),\gamma^{\prime}(h(t)))<\varepsilon.\end{eqnarray}

Eine Klasse Freéchet-äquivalenter stetiger Abbildungen abgeschlossener Intervalle in den Raum M heißt eine Fréchet-Kurve. Eine Fréchet-Kurve ist durch jede beliebige ihrer Darstellungen γ charakterisiert.

Bezeichnet man dann bei gegebenem metrischem Raum M die Menge aller Fréchet-Kurven mit Γ(M), so kann man auf Γ(M) einen Abstand definieren. Sind Γ und Γ′ Fréchet-Kurven mit den Darstellungen γ : [a, b] → M und γ′ : [a′, b′] → M, so definiert man dγ (dγ, dγ′) als das Infimum aller Zahlen δ, für die es einen Homöomorphismus h : [a, b] → [a′, b′] gibt mit der Eigenschaft, daß für jedes t ∈ [a, b] die Ungleichung \(d(\gamma(t),\gamma^{\prime}(h(t)))\leq \delta\) gilt.

Dieser Abstand ist von den gewählten Darstellungen unabhängig und immer endlich. Zusammen mit dem Abstand d_Γ wird die Menge Γ(M) zu einem metrischen Raum, dessen Metrik man als Fréchet- Metrik bezeichnet.