meist bezeichnet mit Fun (\(\begin{eqnarray}{\mathcal{C}}\end{eqnarray}\), \(\begin{eqnarray}{\mathcal{D}}\end{eqnarray}\)), die Kategorie, die zu einem Paar von Kategorien (\(\begin{eqnarray}{\mathcal{C}}\end{eqnarray}\), \(\begin{eqnarray}{\mathcal{D}}\end{eqnarray}\)) als Objekte alle Funktoren \(\begin{eqnarray}{\mathcal{C}}\end{eqnarray}\) → \(\begin{eqnarray}{\mathcal{D}}\end{eqnarray}\), und als Morphismen zwischen zwei Funktoren T, S : \(\begin{eqnarray}{\mathcal{C}}\end{eqnarray}\) → \(\begin{eqnarray}{\mathcal{D}}\end{eqnarray}\) die sog. natürlichen Transformationen η : T → S besitzt.

Sind η : T → S und κ : S → R natürliche Transformationen, so ist die Komposition κ &ogr; η : T → R die natürliche Transformation gegeben durch die Abbildungen \begin{equation} (\kappa \circ \eta)_{A}=\kappa_{A}\circ \eta_{A} \in Mor_{\mathcal{D}}(T(A),R(A)) \end{equation} für alle A ∈ Ob(C).