Lexikon der Mathematik: ganzrationale Funktion
reelle Funktion, die als Polynom darstellbar ist, also eine Funktion f : ℝ → ℝ, die sich in der Gestalt
\begin{eqnarray}F(x)\, = \,\mathop {\mathop \sum \limits^n }\limits_{k = 0} \frac{{{a_k}}}{{k + 1}}{x^{k + 1}}\, + \,c\end{eqnarray}
mit beliebigem c ∈ ℝ, also ganzrationale Funktionen mit einem um 1 höheren Grad.Die Anzahl der (entsprechend Vielfachheiten gezählten) reellen Nullstellen von f ist genau dann gerade, wenn n gerade ist. Insbesondere hat f bei ungeradem n mindestens eine reelle Nullstelle. Polynomdivision zeigt, daß f höchstens n Nullstellen, höchstens n − 1 Extremstellen und höchstens n − 2 Wendestellen hat.
γ1, …, γk ∈ ℝ sind genau dann sämtliche (entsprechend Vielfachheiten angegebenen) reellen Nullstellen von f, wenn f(x) = (x − γ1) ··· (x −; γk) g(x) gilt mit einer nullstellenfreien ganzrationalen Funktion g vom Grad n— k.
Das Verhalten von f(x) für x → ±∞ ist wie folgt:
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