Garben-Kohomologie

fundamentale Theorie in der Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher.

Sei D ein parakompakter Hausdorffraum. Eine Garben-Kohomologie-Theorie ist eine Zuordnung, die jeder Garbe \(\mathcal{S}\) von abelschen Gruppen über D eine Sequenz von abelschen Gruppen \(\mathcal{S}\) so zuordnet, daß die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:

H⁰ (D, \(\mathcal{S}\)) = Γ (D, S).

H^q (D, \(\mathcal{S}\)) = 0, wenn \(\mathcal{S}\) eine feine Garbe ist und q > 0.

Zu jedem Garbenhomomorphismus φ : \(\mathcal{S}\) → \(\mathcal{T}\) existieren induzierte Homomorphismen der Kohomologiegruppen \({{\varphi }^{q}}:{{H}^{q}}\left( D,\,S \right)\to {{H}^{q}}\left( D,\,\mathcal{T} \right),\,q\,=0,1,2,...\,.\)

Zu jeder kurzen exakten Sequenz von Garben \(0\to \mathcal{R}\overset{\varphi }{\mathop{\to }}\,\mathcal{S}\overset{\psi }{\mathop{\to }}\,\mathcal{T}\to 0\) gehört eine Sequenz von Homomorphismen \(\delta :{{H}^{q}}\left( D,\,\mathcal{T} \right)\to {{H}^{q+1}}\left( D,\,\mathcal{R} \right)\) , so daß die folgende Sequenz von Gruppen exakt ist: \(\mathcal{S}\) von abelschen Gruppen über D versteht man eine exakte Sequenz von Garben über D der Form

\begin{eqnarray}0\to \mathcal{S}\overset{\varepsilon }{\mathop{\to }}\,{{\mathcal{T}}_{0}}\overset{{{d}_{0}}}{\mathop{\to }}\,{{\mathcal{T}}_{1}}\overset{{{d}_{1}}}{\mathop{\to }}\,{{\mathcal{T}}_{2}}\to ...\end{eqnarray}

Eine solche Auflösung heißt feine Auflösung, wenn jede der Garben \(\mathcal{T}\)_q eine feine Garbe über D ist. Zu einer solchen Sequenz gehört eine Sequenz von Schnitten \begin{eqnarray}0\to \Gamma (D,{\mathscr{S}})\mathop{\to }\limits^{\varepsilon * }\Gamma (D,{{\mathscr{T}}}_{0})\mathop{\to }\limits^{{d}_{0}^{* }}\Gamma (D,{{\mathscr{T}}}_{1})\mathop{\to }\limits^{{d}_{1}^{* }}\Gamma (D,{{\mathscr{T}}}_{2})\to \ldots \end{eqnarray} Diese Sequenz ist i. allg. nicht exakt. Es gilt aber für q = 1, 2, … \[Im\,d_{q-1}^{*}\,\subset \,\text{Ker}\,d_{q}^{*},\] und man erhält den folgenden Satz:

Wenn (1) eine feine Auflösung der Garbe\begin{eqnarray}{\mathscr{S}}\end{eqnarray}ist, dann gilt\[\begin{array}{*{35}{l}} {{H}^{0}}\left( D,\,\mathcal{S} \right)\cong \text{Ker}\,d_{q}^{*}/im\,d_{q-1}^{*},q\ge 1, \\ {{H}^{0}}\left( D,\,\mathcal{S} \right)\cong \text{Ker}\,d_{0}^{*} \\ \end{array}\]

[1] Gunning, R.; Rossi, H.: Analytic Functions of Several Complex Variables. Prentice Hall Inc. Englewood Cliffs, N.J., 1965.

Lexikon der Mathematik: Garben-Kohomologie

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