zu einem Modul gehöriges Polynom der folgenden Art.

Sei k ein Körper und S_• eine graduierte k-Algebra, die durch endlich viele homogene Elemente vom Grad ≥ 0 erzeugt wird. Weiter sei dim_kS₀< ∞, und M_• ein endlich erzeugter graduierter S_•-Modul.

Die Hilbert-Funktion von M_• ist die Funktion v ↦ dim_k (M_v) = H_M• (v). Zu jedem Modul M_• existiert ein Polynom HP_M• (t) ∈ ℚ[t] und ein v₀ so, daß für v ≥ v₀ gilt: \begin{eqnarray}{H}_{M\bullet }(v)=H{P}_{M\bullet }(v).\end{eqnarray}

Dieses Polynom heißt Hilbert-Polynom des Moduls M_•. Wenn X ein projektives k-Schema, ℒ ein amples Geradenbündel auf X, und ℱ eine kohärente Garbe auf X ist, so ist \begin{eqnarray}S\bullet =\mathop{\oplus }\limits_{v\ge 0}{H}^{0}(H,{{\mathscr{L}}}^{\otimes v})\end{eqnarray} eine endlich erzeugte k-Algebra, und \begin{eqnarray}M\bullet =\mathop{\oplus }\limits_{v\in {\mathbb{Z}}}{H}^{0}(X,{\mathscr{F}}\otimes {{\mathscr{L}}}^{\otimes v})\end{eqnarray} ein endlich erzeugter S_•-Modul. In diesem Falle ist die Funktion \(v\space \mapsto \space \chi ( {\mathcal F} \otimes { {\mathcal L} }^{\otimes }{}^{v})\) ebenfalls eine polynomiale Funktion und stimmt mit dem HilbertPolynom von M_• überein, d. h. \begin{eqnarray}\chi ({\mathscr{F}}\otimes {{\mathscr{L}}}^{\otimes v})=H{P}_{M\bullet }(v).\end{eqnarray}

Diese Funktion \(\upsilon \space \mapsto \space \chi ( {\mathcal F} \otimes { {\mathcal L} }^{\otimes }{}^{v})\) heißt Hilbert Polynom von ℱ bez. ℒ.