Zerlegung der komplexen Kohomologie, die man unter Anwendung der Hodge- Identitäten erhält.

Sei M eine kompakte Kähler-Mannigfaltigkeit. Δ_d = dd* + d*d, \({\Delta }_{\bar{\partial }}=\bar{\partial }\space {\bar{\partial }}^{* }+\space {\bar{\partial }}^{* }\space \bar{\partial }\) bezeichnen die Laplaceschen. Dann gilt für die komplexe Kohomologie: \begin{eqnarray}\begin{array}{l}{H}^{r}(M,{\mathbb{C}})=\mathop{\oplus }\limits_{p+q=r}{H}^{p,q}(M),\\ {H}^{p,q}(M)=\overline{{H}^{q,p}(M)}.\end{array}\end{eqnarray}

Da \({\Delta }_{d}=2{\Delta }_{\space \bar{\partial }}\), gilt für die harmonischen Formen \begin{eqnarray}{{\mathscr{K}}}_{d}^{p,q}(M):=\{\eta \in {A}^{p,q}(M):{{\rm{\Delta }}}_{d\eta }=0\}={{\mathscr{K}}}_{\bar{\partial }}^{p,q}(M)\end{eqnarray} und daher \begin{eqnarray}{H}^{p,q}(M)\cong {H}_{\bar{\partial }}^{p,q}(M)\cong {H}^{q}(M,{{\rm{\Omega }}}^{p}).\end{eqnarray}

Insbesondere ist für q = 0 \begin{eqnarray}{H}^{p,0}(M)={H}^{0}(M,{{\rm{\Omega }}}^{p})\end{eqnarray} der Raum der holomorphen p-Formen. Für eine beliebige Kähler-Metrik auf einer kompakten Mannigfaltigkeit sind die holomorphen Formen also harmonisch.

Man definiert die Hodge-Zahlen durch \begin{eqnarray}{h}^{p,q}(M)=\dim {H}^{p,q}(M)\end{eqnarray} und erhält mit Hilfe der Hodge-Zerlegung \begin{array}{l}{b}_{r}(M)=\displaystyle \sum _{p+q=r}{h}^{p,q}(M),\\ {h}^{p,q}(M)={h}^{q,p}(M).\end{array}

Dabei bezeichne b_r (M) = dim H^r (M, ℂ) die Betti-Zahl vom Grad r. Insbesondere erhält man hieraus, daß die Betti-Zahlen von ungeradem Grad gerade sind.