Kreuztabelle, Kreuztafel, tabellarische Darstellung von zweidimensionalen Häufigkeitsverteilungen, meist zur Beurteilung von (Schein-)korrelationen.

Bei der Berechnung von Korrelationen zwischen verschiedenen Merkmalen muß man darauf achten, daß die Merkmale in einem sachlogischen Zusammenhang stehen, da sonst inhaltlich unsinnige Korrelationen bestimmt werden können. Für nominal skalierte Merkmale verwendet man dabei oft Kontingenztafeln.

Seien (X, Y) ein Paar diskreter Merkmale mit dem Wertebereich 𝒳 ={a₁, …, a_k} bzw. 𝒴 = {b₁, …, b_m} und (x_i, y_i), i = 1, …, N eine Stich-probe von (X, Y). Dann hat die Kontingenztafel folgende Gestalt:

Dabei sind H_ij die Anzahl von Beobachtungspaaren (x_l, y_l) mit x_l = a_i und y_l = b_j. H_ij wird auch als absolute Zellhäufigkeit bezeichnet. Die Gesamtheit \({({H}_{ij})}_{i=1,\ldots, k}^{j=1,\ldots, m}\) bildet die zweidimensionale absolute Häufigkeitsverteilung von (X, Y). Die jeweiligen Zeilen- und Spaltensummen liefern die Randhäufigkeiten \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{H}_{i.}=\displaystyle \sum _{j=1}^{m}{H}_{ij}, & {H}_{.j}=\displaystyle \sum _{i=1}^{m}{H}_{ij},\end{array}\end{eqnarray}

die die absolute Häufigkeitsverteilung von X bzw. Y bilden. Die obige Tabelle wird auch als (k, m)-Tafel bezeichnet. Auch stetige Variablen können in Kreuztabellen dargestellt werden, indem man vorher eine Klasseneinteilung der Wertebereiche 𝒳 und 𝒴 durchführt. An die Stelle der Werte a_i und b_j treten dann die Klassen \({K}_{i}^{X}\) und \({K}_{j}^{Y}\).

Die statistische Fragestellung in Kontingenztafeln besteht in der Untersuchung des Zusammenhangs zwischen den beiden Variablen X und Y. Dazu sind statistische Maßzahlen und spezielle Hypothesentests entwickelt worden. Durch Hypothesentests kann man die Aussagen überprüfen. Die verwendeten Maßzahlen und Teststatistiken hängen vom Skalentyp der Variablen ab. Wenn beide Variablen mindestens ordinalskaliert sind, verwendet man Korrelationskoeffizienten. Diese messen nicht nur die Abhängigkeit, sondern auch die Richtung der Abhängigkeit beider Variablen. Ist eine der beiden Variablen nur nominalskaliert, so gibt es keine Ordnung in den Daten und damit keine Orientierung mehr. In diesem Fall werden Assoziationsmaße verwendet, die die Stärke der Abhängigkeit beider Variablen ohne Orientierung messen. Bei diesen Maßen wird stets die absolute Zell-Häufigkeit \({H}_{ij}^{E}\) berechnet, die man bei Unabhängigkeit von X und Y erwarten kann, und mit der beobachteten Zellhäufigkeit H_ij verglichen.

Bei Unabhängigkeit gilt folgender Zusammenhang zwischen der gemeinsamen Verteilung p_ij = P (X = a_i und Y = b_j) und den Randverteilungen p_ij = P (X = a_i und Y = b_j) und den Randverteilungen p_i. = P(X = a_i) und p_.j = P(Y = b_j): \begin{eqnarray}{p}_{ij}={p}_{i.}{p}_{.j}.\end{eqnarray}

Daraus ergibt sich unter Beachtung der Approximation der Wahrscheinlichkeiten durch die relativen Häufigkeiten \begin{eqnarray}\frac{{H}_{ij}}{n}\approx \left(\frac{{H}_{i.}}{n}\right)\left(\frac{{H}_{.j}}{n}\right)\end{eqnarray}

und folglich \begin{eqnarray}{H}_{ij}\approx \frac{{H}_{i.}{H}_{.j}}{n}=:{H}_{ij}^{E}.\end{eqnarray}

Typische Maße zur Bewertung der Unabhängigkeit (Assoziation) von X und Y basieren auf dem sogenannten χ²-Abstand \begin{eqnarray}{\chi }^{2}=\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\displaystyle \sum _{j=1}^{m}\frac{{({H}_{ij}^{B}-{H}_{ij}^{E})}^{2}}{{H}_{ij}^{E}},\end{eqnarray}

wobei \({H}_{ij}^{B}:={H}_{ij}\) für die beobachtete Häufigkeit steht. Diese Größe ist approximativ χ²-verteilt (woraus sich ihr Name ergibt) und wird in Assoziationsmaßen und im χ²-Unabhängigkeitstest verwendet. Typische Assoziationsmaße sind der Kontingenzkoeffizient und Cramers V-Koeffizient.