Lexikon der Mathematik: konvexe Hülle
spezielle Obermenge einer Teilmenge X eines reellen Vektorraums V, nämlich der Durchschnitt aller konvexen Teilmengen von V, die X enthalten, meist bezeichnet mit conv X.
Da der Durchschnitt konvexer Mengen konvex ist, ist conv X die kleinste konvexe Menge in V, die X enthält. Die Menge X ist demnach genau dann konvex, wenn X = conv X gilt. Für alle α ∈ ℝ und X, Y ⊂ V gilt:
Sind X, Y ⊂ V konvexe Kegel, d. h. X und Y sind konvex und erfüllen tX ⊂ X und tY ⊂ Y für alle t ≥ 0, so gilt
Die konvexe Hülle einer Menge X ⊂ V besteht gerade aus allen Konvexkombinationen von Elementen von X, sie entspricht also der Menge
Für eine Menge X ⊂ ℝ
Aus dem Satz von Carathéodory folgt, daß die konvexe Hülle einer kompakten Teilmenge von ℝ
Ist V ein topologischer Vektorraum, so ist für jede offene Menge X ⊂ V auch conv X offen. Ferner sind für jede konvexe Menge X ⊂ V auch das Innere von X und die Abschließung von X konvex. Für jede Menge X ⊂ V ist dann auch der Durchschnitt aller abgeschlossenen konvexen Teilmengen von V, die X enthalten, eine abgeschlossene konvexe Menge, genannt \(\overline{\text{conv}}X\), die abgeschlossene konvexe Hülle von X. Es gilt
Für alle α ∈ ℝ und X, Y ⊂ V mit relativ kompaktem conv Y gilt:
Der Satz von Mazur besagt, daß für eine präkompakte Teilmenge X eines lokalkonvexen Raums auch conv X präkompakt ist.
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