Charakterisierung der Brownschen Bewegung mit Hilfe der quadratischen Kovariation.

Es sei (Ω, 𝔄, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum, (𝔄_t)_t∈[0,∞)eine Filtration in 𝔄, welche die üblichen Voraussetzungen erfüllt, und (X_t)_t∈[0,∞)ein an (𝔄_t)_t∈[0,∞)adaptierter stetiger stochastischer Prozeß mit Werten in (ℝ^d, 𝔅(ℝ^d)).

Ist \(({X}_{t}^{(i)})t\in [0,\infty )\)für i = 1, …, d ein stetiges lokales Martingal bezüglich (𝔄_t)_t∈[0,∞), und gilt für die quadratische Kovariation P-fast sicher die Beziehung

\begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{[{X}^{(i)},{X}^{(j)}]}_{t}={\delta }_{i,j}t & f\rm{\unicode{x00FC}}r{\quad}alle{\quad}t\ge 0,\end{array}\end{eqnarray}

i, j = 1, …, d, so ist der Prozeß (X_t)_t∈[0,∞)eine d-dimensionaleBrownsche Bewegung.

Dabei bezeichnet 𝔅(ℝ^d) die σ-Algebra der Borelschen Mengen des ℝ^d, \({X}_{t}^{i}\) die i-te Komponente von X_t, und δ_i,j das Kronecker-Symbol.

Umgekehrt gilt für eine an die die üblichen Voraussetzungen erfüllende Filtration (𝔄_t)_t∈[0,∞) adaptierte, normale d-dimensionale Brownsche Bewegung (X_t)_t∈[0,∞) auch P-fast sicher die Beziehung [X⁽ⁱ⁾, X^(j)]_t = δ_i,jt für alle t ≥ 0, d. h. die Prozesse ([X⁽ⁱ⁾, X^(j)]_t)_t∈[0,∞) und (δ_i,jt)_t∈[0,∞) sind nicht unterscheidbar.

Oft findet man auch Formulierungen der Lévy-Charakterisierung, in denen im obigen Satz statt [X⁽ⁱ⁾, X^(j)]_t = δ_i,jt für alle t ≥ 0 die äquivalente Bedingung, daß der Prozeß \({({X}_{t}^{(i)}{X}_{t}^{(j)}-{\delta }_{i,j}t)}_{t\in [0,\infty )}\) ein stetiges lokales Martingal bezüglich (𝔄_t)_t∈[0,∞) ist, verwendet wird.