Aussage über das Konvergenzverhalten der bezüglich der σ-Algebren aus einer Filtration gebildeten bedingten Erwartungen einer integrierbaren Zufallsvariablen.

Es sei X eine auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, 𝔄, P) definierte integrierbare reelle Zufallsvariable. Ferner sei (𝔄_n)_n∈ℕeine Filtration in 𝔄 und

\begin{eqnarray}{{\mathfrak{A}}}_{\infty }:=\sigma \left(\displaystyle \mathop{\cup }\limits_{n\in {\mathbb{N}}}{{\mathfrak{A}}}_{n}\right)\end{eqnarray}

die von der Vereinigung der 𝔄_n erzeugte σ-Algebra.

Dann konvergiert die Folge (E(X|𝔄_n))_n∈ℕder bedingten Erwartungen sowohl P-fast sicher als auch im Mittel gegen E(X|𝔄_∞).