Verallgemeinerung des Begriffes Vektorraum über einem Körper auf Ringe.

Sei R ein (kommutativer) Ring mit 1. Ein R– Modul M ist eine Menge M zusammen mit zwei Operationen:

1. Eine Addition + : M×M → M, \(x,\,y\,\in \,M\,\mapsto \,x+y\,\in \,M\)
2. Eine skalare Multiplikation · : R × M → M, x ∈ M, \(a\,\in \,R\,\mapsto \,a\,\cdot \,x\,=\,ax\,\in \,M\)

Diese Operationen haben die folgenden Eigenschaften:

• M ist bezüglich + eine abelsche Gruppe, und
• \(a(x\,+\,y)\,=\,ax\,+\,ay,\\ (ab)x\,=\,a(bx),\\ (a\,+\,b)x\,=\,ax\,+\,bx,\,\text{sowie}\\ \,\text{1}\,\cdot \,x\,=\,x\)

Wenn R ein Körper ist, dann ist ein R-Modul ein RVektorraum. Wenn R = ℤ der Ring der ganzen Zahlen ist, dann ist ein ℤ-Modul eine abelsche Gruppe.

Den Begriff des R-Moduls gibt es auch für nicht kommutative Ringe, die Definition ist analog. Man unterscheidet Rechts-R-Moduln, Links-R-Moduln und zweiseite Moduln, je nachdem, ob die Operation · von rechts, links oder beiden Seiten gegeben ist.

Ein Untermodul N des Moduls M ist eine nichtleere Teilmenge N von M, die bezüglich der auf M definierten Operationen selbst ein Modul ist.