die 8-dimensionale reelle Algebra \({\mathbb{O}}\) der Paare ℍ × ℍ Hamiltonscher Quaternionen, für welche die Multiplikation zweier Elemente x = (x₁, x₂) und y = (y₁, y₂) definiert ist durch \begin{eqnarray}x\cdot y:=({x}_{1}{y}_{1}-\overline{{y}_{2}}{x}_{2},{x}_{2}\overline{{y}_{1}}+{y}_{2}{x}_{1}).\end{eqnarray}

Hierbei bezeichnet \(\bar{\cdot }\,\) die Konjugation auf den Hamiltonschen Quaternionen.

Die Elemente der Oktonienalgebra heißen Oktonien, Oktaven oder auch Cayley-Zahlen. Ist e ∈ ℍ das Einselement in ℍ, so ist (e, 0) das Einselement in O. Die Oktonienalgebra ist eine quadratische reelle Alternativalgebra, die nullteilerfrei und nicht assoziativ ist.

Jede endlichdimensionale nullteilerfreie alternative quadratische reelle Algebra ist entweder assoziativ oder isomorph zu \({\mathbb{O}}\).