zu einer Primzahl p ein Element der vom p-adischen Absolutbetrag induzierten Vervollständigung des Körpers der rationalen Zahlen.

Der Begriff stammt von Kurt Hensel, der ihn 1913 in seinem Buch „Zahlentheorie“ ausführlich untersuchte.

Ist g ≥ 2 eine ganze Zahl, die Grundzahl, so gibt es zu jeder natürlichen Zahl n eine eindeutig bestimmte g-adische Darstellung \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}n={a}_{0}+{a}_{1}g+\ldots {a}_{k}{g}^{k}\end{array}\end{eqnarray} mit Ziffern a₀, …, a_k aus der Ziffernmenge {0, 1, …, g−1} (siehe hierzu auch g-adische Entwicklung). Hensel beginnt sein Zahlentheoriebuch mit den Worten:

„Als die Aufgabe der elementaren Zahlentheorie kann die Aufsuchung der Beziehungen bezeichnet werden, welche zwischen allen rationalen ganzen oder gebrochenen Zahlen m einerseits und einer

beliebig angenommenen festen Grundzahl g andererseits bestehen. Man kann dieser Aufgabe in ihrem weitesten Umfange dadurch genügen, daß man alle diese Zahlen m in unendliche Reihen \begin{eqnarray}m={a}_{0}+{a}_{1}g+{a}_{2}{g}^{2}+\ldots \end{eqnarray} entwickelt, welche nach ganzen Potenzen dieser Grundzahl fortschreiten. Nur durch die Betrachtung dieser vollständigen Reihen erhält man eine vollkommene Lösung unserer Aufgabe; … “

Mathematisch enthält der Henselsche Ansatz schon einige Schwierigkeiten:

1. Was bedeuten diese unendlichen Reihen? Im gewöhnlichen Sinn konvergiert eine Reihe a₀ + a₁g + a₂g² + … mit „Ziffern“ a_j ∈ {0, 1, …, g − 1} offenbar genau dann, wenn nur endlich viele der a_j von 0 verschieden sind; man benötigt also einen anderen Konvergenzbegriff.
2. Inwiefern kann man mit diesen Reihen rechnen? Die Theorie der p-adischen Zahlen, von der Hensel wesentliche Aspekte entwickelte, beinhaltet eine präzise und höchst interessante Beantwortung dieser Fragen.

Zunächst zur zweiten Frage. Faßt man eine Reihe \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }{a}_{j}={a}_{0}+{a}_{1}g+{a}_{2}{g}^{2}+\ldots\end{array}\end{eqnarray} als formalen Ausdruck (oder als Folge (a_j)_j≥0) auf, so kann man damit wie folgt rechnen: Für festes n rechnet man mit dem Anfangsstück \begin{eqnarray}{a}_{0}+{a}_{1}g+{a}_{2}{g}^{2}+\ldots +{a}_{n-1}{g}^{n-1}\end{eqnarray} wie im Restklassenring modulo gⁿ; macht man das für jedes n ∈ ℕ, so folgt aus den Gesetzen der Restklassenarithmetik, daß Addition, Subtraktion, Multiplikation und mit Einschränkung auch Division von formalen Ausdrücken (1) wohldefiniert sind. Beispielsweise ist \begin{eqnarray}-1\equiv \displaystyle \sum _{j=0}^{n-1}(g-1){g}^{j}\,\,\,\mathrm{mod}\,{g}^{n}\end{eqnarray} für jeden Exponenten n (und für jede Grundzahl g ≥ 2). Damit findet man die Zahl −1 auch bei den formalen Ausdrücken der Form (1), nämlich \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}-1=\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }(g-1){g}^{j}\end{array}\end{eqnarray}

Die Restklassenarithmetik modulo gⁿ führt also zu einer Ringstruktur auf der Menge ℤ_g aller Reihen (1) mit Ziffern a_j ∈ {0, 1, …, g − 1}.

Den Ring ℤ_g bezeichnet man (nach Hensel) als Ring der ganzen g-adischen Zahlen; er enthält alle ganzen Zahlen sowie diejenigen Brüche, deren Nenner zu g teilerfremd ist. Der Ring ℤ_g ist genau dann nullteilerfrei, wenn g eine Primzahl ist. Ist g = pq zusammengesetzt, so kann man die Struktur des Rings ℤ_g durch die Ringe ℤ_p und ℤ_q beschreiben. Man gewinnt also strukturelle Klarheit, ohne Allgemeinheit zu verlieren, indem man sich auf den Fall der p-adischen Zahlen, p Primzahl, konzentriert. Den Quotientenkörper von ℤ_p bezeichnet man als den Körper ℚ_p aller p-adischen Zahlen. Ein Element x ∈ ℚ_p kann man sich als unendliche Reihe \begin{eqnarray}x=\frac{{a}_{-k}}{{p}^{k}}+\ldots +\frac{{a}_{-1}}{p}+{a}_{0}+{a}_{1}p+{a}_{2}{p}^{2}+\ldots \end{eqnarray} vorstellen, wobei sich die Arithmetik durch das Rechnen modulo pⁿ mit endlichen Teilstücken ergibt.

Zur ersten Frage. Es stellt sich heraus, daß ℚ_p auf natürliche Weise ein metrischer Raum ist, und daß der Ring ℤ_p ⊂ ℚ_p darin kompakt ist. Zur Konstruktion der Metrik sei zunächst r = a/b eine beliebige rationale Zahl ≠ 0. Sind \begin{eqnarray}a=\pm \displaystyle \prod _{p}{p}^{{\alpha }_{p}},\,\,\,\,\,b=\displaystyle \prod _{p}{p}^{{\beta }_{p}}\end{eqnarray} die kanonischen Primfaktorenzerlegungen des Zählers a und des Nenners b (also α_p, β_p ≥ 0 und jeweils nur für endliche viele p von 0 verschieden), so definiert man den p-Exponent von r durch \begin{eqnarray}{v}_{p}(r):={v}_{p}\left(\frac{a}{b}\right)={\alpha }_{p}-{\beta }_{p}.\end{eqnarray}

Für ganze Zahlen r = a ist v_p(a) die größte ganze Zahl derart, daß \({p}^{{v}_{p}(a)}\) ein Teiler von a ist. Der p-adische Absolutbetrag oder p-Betrag einer rationalen Zahl r ist gegeben durch \begin{eqnarray}{|r|}_{p}:=\left\{\begin{array}{ll}{p}^{-{v}_{p}(r)} & \text{f}\mathrm{\ddot{u}}\text{r}\,r\ne 0,\\ 0 & \text{f}\mathrm{\ddot{u}}\text{r}\,r=0.\end{array}\right.\end{eqnarray}

Der p-adische Absolutbetrag erfüllt die Bedingungen |r|_p = 0 ⇔ r = 0 und |rs|_p = |r|_p · |s|_p, sowie die sog. ultrametrische Ungleichung \begin{eqnarray}{|r+s|}_{p}\le \max \{{|r|}_{p},\,\,{|s|}_{p}\}.\end{eqnarray}

Insbesondere definiert der p-adische Absolutbetrag eine Metrik, den p-Abstand auf ℚ. Der p-Abstand läßt sich auf ℤ durch die Zugehörigkeit zu Restklassen modulo pⁿ veranschaulichen, denn es gilt: \begin{eqnarray}{|a-b|}_{p}\le {p}^{-n}\,\,\,\iff \,\,\,\,a\equiv b\,\,\mathrm{mod}\,\,{p}^{n}.\end{eqnarray}

Mittels des p-Abstands sind auch die Begriffe p-Konvergenz und p-Grenzwert erklärt. In diesem Sinne konvergiert die Reihe (1) für g = p und jede beliebige Ziffernfolge (a_j). Ebenso ist, für g = p, Gleichung (2) so zu verstehen, daß −1 der p-Grenzwert der rechts stehenden Reihe ist.

Eine Ziffernfolge \({({a}_{j})}_{j=-k}^{\infty }\) nennt man p-adische Entwicklung einer p-adischen Zahl x ∈ ℚ_p, wenn x der p-Grenzwert der Reihe \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{j=-k}^{\infty }{a}_{j}{p}^{j}=\frac{{a}_{-k}}{{p}^{k}}+\ldots +\frac{{a}_{1}}{p}+{a}_{0}+{a}_{1}p+\ldots \end{eqnarray} ist. Damit besitzt wegen ℚ ⊂ ℚ_p insbesondere jede rationale Zahl eine p-adische Entwicklung. Den Ring ℤp bzw. den Körper ℚ_p erhält man als Vervollständigung von ℤ bzw. ℚ bezüglich des p-Abstands.

Mit Hilfe des Begriffs der p-Konvergenz ist es möglich, auf den p-adischen Zahlen konvergente Potenzreihen zu betrachten und so ein gutes Stück der klassischen Analysis zu übertragen. Hinzu kommt noch eine p-adische Maß- und Integrationstheorie (Grundlage ist etwa ein Haarsches Maß auf der additiven Gruppe (ℚ_p, +)).

Insgesamt stellen die p-adischen Zahlen eine Möglichkeit dar, die Analysis mit dem Rechnen in Restklassen modulo Primzahlpotenzen in enge Verbindung zu bringen, was z. B. bei der Analyse diophantischer Gleichungen wichtig ist.