Abbildung von Punkten eines affinen Raumes, welche durch die Schattenbildung bei Parallelbeleuchtung motiviert ist.

Sonnenstrahlen kann man nährungsweise als eine Familie paralleler Geraden ansehen, deren gemeinsame Richtung durch einen Vektor \(\overrightarrow{v}\) gegeben ist, der vom Sonnenmittelpunkt zum Erdmittelpunkt zeigt. Fällt Sonnenlicht durch ein Fenster in einen dunklen Raum, so ist der auf der Ebene π des Fußbodens sichtbare Schatten des Fensterkreuzes das Bild desselben bei der Parallelprojektion \(\displaystyle \Pi {}_{\overrightarrow{v},\pi }\).

Eine Parallelprojektion ist immer durch die Projektionsrichtung \(\overrightarrow{v}\) und die Bildebene n festgelegt. Ein Punkt X wird auf den Schnittpunkt X^p der Geraden \(X+t\cdot \overrightarrow{v}\), t ∈ ℝ, mit π abgebildet. Die durch Parallelprojektion erzeugten Bilder kommen dem menschlichen Betrachter dadurch entgegen, daß parallele Geraden auf parallele Geraden abgebildet werden und Teilverhältnisse erhalten bleiben.

Allgemeiner wird eine Parallelprojektion des ℝⁿ auf einen k-dimensionalen affinen Unterraum E^k ⊂ ℝⁿ über eine Zerlegung \begin{eqnarray}\mathbb{R}^{n}={U}^{k}\oplus {V}^{n-k}\end{eqnarray} in eine direkte Summe zueinander komplementärer linearer Unterräume definiert. Dabei ist U^k ⊂ ℝⁿ der Raum der Translationen von E^k, d. h., der Raum aller zu E^k parallelen Vektoren. Jeder Vektor \({\mathfrak{x}}\in {{\mathbb{R}}}^{n}\) besitzt dann eine eindeutig bestimmte Darstellung \({\mathfrak{x}}={{\mathfrak{x}}}_{U}+{{\mathfrak{x}}}_{V}\) als Summe zweier Komponenten \({{\mathfrak{x}}}_{U}\in {U}^{k}\) und \({{\mathfrak{x}}}_{V}\in {V}^{n-k}\).

Ist Q ∈ E^k ein fest gewählter Punkt, so ist E^k die Menge Q + U^k aller Punkte \(Q+{\mathfrak{a}}\) mit \({\mathfrak{a}}\in {U}^{k}\). Die Parallelprojektion ∏_V,E : ℝⁿ → E^k auf E^k längs V^n−k ist dann für X ∈ ℝⁿ durch \begin{eqnarray}{{\rm{\Pi }}}_{V,E}(X)=X-{\overrightarrow{QX}}_{V}\end{eqnarray} definiert, wenn \(\overrightarrow{QX}={\overrightarrow{QX}}_{U}+{\overrightarrow{QX}}_{V}\) die Zerlegung des Verbindungsvektors \(\overrightarrow{QX}\) in seine Komponenten gemäß ℝⁿ = U^k ⊕ V^n−k ist.