Lexikon der Mathematik: perfekter Spline
eine Splinefunktion, die bei der Lösung eines speziellen Minimierungsproblems auftritt.
Es sei a = x0< x1<…< xk< xk+1 = b eine Menge von Knoten und m eine natürliche Zahl. Der zu den Knoten gehörige Raum der Splines Sm(x1,…,xk) vom Grad m ist gegeben durch
Hierbei ist die m-te Ableitung s(m) jeweils stückweise bzgl. der Intervalle [xi, xi+1) zu verstehen.
Bei der Untersuchung perfekter Splines spielen sogenannte aktive Knoten eine wichtige Rolle. Ein Knoten xi wird aktiv genannt, falls die stückweise konstante Funktion s(m) einen Vorzeichenwechsel in xi hat.
Wir betrachten die folgende spezielle Minimierungsaufgabe: Für vorgegebenes f ∈ C[a, b], vorgegebene Knoten a = x0< x1<…< xk< xk+1 = b, und eine feste natürliche Zahl r bestimme man eine Funktion g : [a, b] ↦ ℝ mit der Interpolationseigenschaft
Die Funktion g löst genau dann das Minimierungsproblem, wenn ein Intervall [xp, xp+r+j] mit j ≥ 1 existiert, so, daß g ein perfekter Spline vom Grad r + 1 auf [xp, xp+r+j] ist, welcher die folgenden Eigenschaften besitzt:
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