Regel der Form \begin{eqnarray}\displaystyle \underset{}{\overset{x}{\int}}f(\varphi (t)){\varphi}{^{\prime}}(t)dt=\displaystyle \underset{}{\overset{\varphi (x)}{\int}}f(s)\,ds\end{eqnarray}

für Intervalle i, j, eine stetige Funktion f : i → ℝ und eine stetig differenzierbare Funktion ϕ : j → i.

Dies liest man aus der Kettenregel einfach ab. Man merkt sich diese Regel meist in der Form: \(\varphi (t),\frac{ds}{dt}={\varphi}{^{\prime}}(t)\) ; ‚läuft‘ t bis x, dann läuft s = ϕ(t) bis ϕ(x).

Aus der o. a. Regel erhält man über den Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung die entsprechende Regel für das bestimmte Integral: \begin{eqnarray}\displaystyle \underset{\alpha}{\overset{\beta}{\int}}f(\varphi (t)){\varphi}{^{\prime}}(t)dt=\displaystyle \underset{\varphi (\alpha)}{\overset{\varphi (\beta)}{\int}}f(s)\,ds,\end{eqnarray}

wenn mit −∞ < α< β< ∞ oben speziell j = [α, β] ist.

Manchmal ist es günstiger, anders zu substituieren: In einem Intervall, in dem ϕ′ konstantes Vorzeichen hat (dazu genügt, daß ϕ′ dort keine Nullstelle hat), ist ϕ umkehrbar. Mit der zugehörigen Umkehrfunktion ψ gilt \begin{eqnarray}{\psi}{^{\prime}}(\varphi (t))=\frac{1}{{\varphi}{^{\prime}}(t)},\end{eqnarray}

und die o. a. Regel lautet dann (für ψ anstelle von ϕ sowie s und t vertauscht) : \begin{eqnarray}\displaystyle \underset{}{\overset{x}{\int}}f(\psi (s)){\psi}{^{\prime}}(s)\,ds=\displaystyle \underset{}{\overset{\psi (x)}{\int}}f(t)dt.\end{eqnarray}

Wertet man dies an der Stelle ϕ(x) statt x aus, so erhält man \begin{eqnarray}\displaystyle \underset{}{\overset{\varphi (x)}{\int}}f(\psi (s)){\psi}{^{\prime}}(s)ds=\displaystyle \underset{}{\overset{x}{\int}}f(t)dt.\end{eqnarray}

Für den mehrdimensionalen Fall vgl. Transformationssatz für Riemann-Integrale auf dem ℝⁿ.