das formale Rechnen mit Symbolen, das auf einer Reihe von Eigenschaften der Symbolabbildung von Pseudodifferentialoperatoren in die Symbolklassen beruht.

Seien dazu im folgenden a und b Symbole aus den Symbolklassen \({S}_{\varrho,\delta}^{m}\), m ∈ ℤ, bzw. \({S}_{{\varrho}^{\prime},{\delta}^{\prime}}^{{m}^{\prime}}\), d. h. für a gelten die Abschätzungen \begin{eqnarray}\left|\frac{{\partial}^{|\beta |}}{\partial {x}_{1}^{{\beta}_{1}}\cdot \partial {x}_{n}^{{\beta}_{N}}}\frac{{\partial}^{|\gamma |}}{\partial {\xi}_{1}^{{\gamma}_{1}}\cdot \partial {\xi}_{n}^{{\gamma}_{N}}}a(x,\xi)\right|\le {C}_{\beta,\gamma}{(1+|\xi |)}^{m-\varrho|\gamma |+\delta |\beta |}\end{eqnarray}

für alle Multiinidizes β, γ ∈ ℕ^N, 0 < ϱ ≤ 1, 0 ≤ δ< 1, und analog für b. Die hierdurch definierten Pseudodifferentialoren bezeichen wir mit A und B, d. h. es ist etwa \begin{eqnarray}Af(x)={(2\pi)}^{-N/2}\displaystyle \mathop{\int}\limits_{{{\mathbb{R}}}^{N}}{e}^{i\lt x,\xi \gt}a(x,\xi)\hat{f}(\xi){d}^{N}\xi.\end{eqnarray}

Weiterhin sei im folgenden der Einfachheit halber vorausgesetzt, daß a und b kompakten Träger in der x-Variablen haben. Unter diesen Voraussetzungen sind AB und BA auch — typischerweise verschiedene — Pseudodifferentialoperatoren, deren Hauptsymbole jedoch übereinstimmen und gleich dem Produkt der Hauptsymbole von A und B sind.

Folgende einfache Regeln für die Ableitung bzw. das Produkt von Symbolen lassen sich mit Hilfe der Ketten- und Produktregel beweisen: \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\ {D}_{x}^{\beta}{D}_{\xi}^{\alpha}a\in {S}^{m-\varrho|\alpha|+\delta|\beta |}, & ab\in {S}_{{\varrho}^{^{\prime\prime}},{\delta}^{^{\prime\prime}}}^{m+{m}^{\prime}},\end{array}\end{eqnarray}

wobei ϱ″ = min(ϱ, ϱ′) und δ″ = max(δ, δ′). Insbesondere sind damit also AB und BA Pseudodifferentialoperatoren der Ordnung m + m′.

Weiterhin ist dann auch der zu A adjungierte Operator ein Pseudodifferentialoperator mit Symbol aus \({S}_{\varrho,\delta}^{m}\), d. h. der gleichen Symbolklasse, das jedoch nicht notwendig kompakten Träger besitzt.

Das Hauptsymbol von A^∗ ist gleich dem matrixadjungierten des Hauptsymboles von A.

Man kann sich teilweise von den oben gemachten Einschränkungen an den kompakten Träger lösen, indem man zunächst auf eine etwas größere Klasse von Symbolen von drei Variablen übergeht und Fourier-Integraloperatoren der Art \begin{eqnarray}Af(x)={(2\pi)}^{-N/2}\displaystyle \mathop{\int}\limits_{{{\mathbb{R}}}^{N}}\displaystyle \mathop{\int}\limits_{{{\mathbb{R}}}^{N}}{e}^{i\langle x-y,\xi \rangle}a(x,y,\xi)f(y){d}^{N}y{d}^{N}\xi \end{eqnarray}

betrachtet, wobei man Abfallbedingungen an a in den Variablen x und y wie schon oben fordert, siehe hierzu Fourier-Integraloperator. Unter der Voraussetzung, daß der Schnitt des Trägers von a(·, ·, ξ) mit Mengen von Typ Ω × K und K × Ω, K kompakt, auch wieder kompakt ist, kann man dann beweisen, daß A ebenso als ein Pseudodifferentialoperator der obigen Art geschrieben werden kann. Für Operatoren diesen Typs gelten die gleichen Sätze wie für die des zuerst eingeführten Types, so sind etwa das Produkt zweier solcher Operatoren und die Adjunkte eines solchen Operators wieder ein Operator desselben Typs.

[1] Hörmander, L.: The Analysis of Linear Partial Differential Operators I-IV. Springer-Verlag Heidelberg, 1985.
[2] Taylor, M.E.: Pseudodifferential operators. Princeton Univ. Press, 1981.