Lexikon der Mathematik: Tangentialraum
Verallgemeinerung des Tangentenbegriffs aus der reellen Analysis.
Seien M eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, p ∈ M ein Punkt auf M, und f, g differenzierbare reellwertige Funktionen in Umgebungen von p. Man nennt f ∼ g äquivalent, wenn es eine Umgebung von p gibt, auf der f und g übereinstimmen. Die Äquivalenzklassen dieser Funktionen nennt man Keime differenzierbarer Funktionen auf M um p, und die Menge \({\mathcal{E}}\)p(M) aller solchen Keime bildet ersichtlich einen R-Vektorraum. Der Tangentialraum Tp(M) kann algebraisch definiert werden als der R-Vektorraum der Derivationen auf \({\mathcal{E}}\)p(M), also der linearen Abbildungen v : \({\mathcal{E}}\)p(M) → ℝ mit v(fg) = v(f)g(p) + f(p)v(g).
Daneben kann man TpM noch geometrisch über Äquivalenzklassen glatter Kurven durch p oder explizit mit Hilfe von Kartenwechseln definieren. Die Dimension dim M der Mannigfaltigkeit stimmt mit der ℝ-Vektorraumdimension dim TpM jedes Tangentialraums überein.
Jede differenzierbare Abbildung ϕ : M → N zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten induziert für jedes p ∈ M eine lineare Abbildung ϕ∗ : TpM → Tϕ(p)N zwischen den entsprechenden Tangentialräumen.
Siehe auch Tangentialebene und Zariski-Tangentialraum.
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