ein Paar \((X,\ {\mathcal{U}})\) bestehend aus einem Raum X und einem System \({\mathcal{U}}\) von Teilmengen von X × X (auch uniforme Struktur genannt) mit folgenden Eigenschaften:

• Δ ∈ U für alle \(U\in {\mathcal{U}}\);
• mit \(U\in {\mathcal{U}}\) ist auch \({U}^{-1}\in {\mathcal{U}}\)
• ist \(U\in {\mathcal{U}}\), so existiert ein \(V\in {\mathcal{U}}\) mit V ○ V ⊆ U;
• sind \(U,\ V\in {\mathcal{U}}\), so ist auch \(U\cap V\in {\mathcal{U}}\);
• ist \(U\in {\mathcal{U}}\) und U ⊆ V ⊆ X × X, dann ist \(V\in {\mathcal{U}}\).

Dabei ist \begin{eqnarray}{\rm{\Delta}}=\{(x,x):x\in X\}\end{eqnarray} die “Diagonale” in X × X, \begin{eqnarray}{U}^{-1}=\{(y,x):(x,y)\in U\},\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}\begin{array}{l}U\circ V=\{(x,z)\in X\times X:(x,y)\in U\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ {\rm{und}}\ (y,z)\in V\ \,\text{f}{\rm\ddot{u}}\text{r}\,\ {\rm{ein}}\ y\in X\}.\end{array}\end{eqnarray}

Die Familie \({\mathcal{U}}\) heißt dabei separierend, wenn \({\bigcup}_{U\in {\mathcal{U}}}U={\rm{\Delta}}\) gilt.

Jedes System von Pseudometriken auf X induziert eine separierende uniforme Struktur. Sind d₁ und d₂ Pseudometriken auf X, dann auch d₁ ∨ d₂, definiert durch \begin{eqnarray}{d}_{1}\vee {d}_{2}(x,y)=\max \{{d}_{1}(x,y),\ {d}_{2}(x,y)\}.\end{eqnarray}

Eine Familie \({\mathcal{D}}=\{{d}_{i}\}\) von Pseudometriken auf X nennt man ein System, wenn gilt:

• \({d}_{1},{d}_{2}\in {\mathcal{D}}\Rightarrow {d}_{1}\vee {d}_{2}\in {\mathcal{D}}\)
• ist x ≠ y, so existiert ein \(d\in {\mathcal{D}}\) mit d(x,y) ≠ 0.

Ist \({\mathcal{D}}\) ein System von Pseudometriken auf X, so bilden die Mengen {(x, y) ∈ X × X : d(x, y) < ϵ}, wo \(d\in {\mathcal{D}}\) und ϵ > 0 ist, eine separierende uniforme Struktur auf X. Umgekehrt wird jede separierende uniforme Struktur durch ein System von Pseudometriken induziert.

Uniforme Räume tragen eine Topologie: Eine Teilmenge O ⊆ X ist dabei offen genau dann, wenn es zu jedem x ∈ O ein \(U\in {\mathcal{U}}\) gibt mit U[x] ⊆ O; dabei ist U[x] = {y : (x, y) ∈ U}. Ist \({\mathcal{U}}\) separierend, so ist die von \({\mathcal{U}}\) induzierte Topologie Hausdorffsch.