Lexikon der Mathematik: Unstetigkeit
zentraler Begriff der Analysis und verwandter Gebiete.
Unstetigkeit einer Funktion f : D → ℝ an einer Stelle x0 ∈ D ⊂ ℝ besagt, daß f in x0 nicht stetig, man sagt „unstetig“, ist.
Dies kann unter der Annahme, daß x0 Häufungspunkt von D ist, verschiedene Gründe haben:
(1) \({\mathrm{lim}}_{x\to {x}_{0}}f(x)\)existiert in ℝ, ist aber verschieden von f(x0).
Eine solche Unstetigkeit heißt hebbar, der Punkt (x0, f(x0)) Einsiedlerpunkt. Durch Abänderung des Funktionswertes an der Stelle x0 zu \({\mathrm{lim}}_{x\to {x}_{0}}f(x)\) wird die Funktion stetig in x0, die Unstetigkeit an dieser Stelle wird so, behoben‘. Man spricht auch von stetiger Ergänzung.
Ein Beispiel: Es sei
Die Unstetigkeit in 1 ist also hebbar, bzw. (1, 1) ist Einsiedlerpunkt.
(2) \({\mathrm{lim}}_{x\to {x}_{0}}f(x)\in \{\infty,\ -\infty \}.\).
Hier ist natürlich eine stetige (reellwertige) Ergänzung nicht möglich.
Ein einfaches Beispiel (mit bestimmter Divergenz gegen ∞) liefert die Funktion
(3) \({\mathrm{lim}}_{x\to {x}_{0}}f(x)\)existiert nicht in ℝ ∪ {∞, −∞}. In diesem Fall kann man noch unterteilen in die beiden Fälle:
(3 a) Es existieren die beiden einseitigen Grenzwerte
Dabei wird davon ausgegangen, daß x0 Häufungspunkt von D ∩ (−∞, x0) und von D ∩ (x0, ∞) ist. Man spricht von einer Sprungstelle (endlicher oder unendlicher Höhe).
Ein Beispiel wird gegeben durch die Funktion
Hier sind an der Stelle x0 = 0 die einseitigen Grenzwerte verschieden und zudem noch beide verschieden vom Funktionswert; 0 ist somit insbesondere Sprungstelle:
Ein einfaches Beispiel für eine Sprungstelle unendliche Höhe liefert die Funktion
(3 b) Mindestens einer der beiden einseitigen Grenzwerte
Hier dient die Funktion
Für
(Der engere Bereich um 0 wurde in der Zeichnung ausgespart, weil sonst – wegen der dort immer dichter beieinander liegenden, Schleifen‘ – fast nur noch ein großer schwarzer Balken erkennbar wäre.)
Oft werden auch noch, Lücken‘ fälschlicherweise als Unstetigkeiten bezeichnet. Eine reelle Zahl a heißt genau dann Lücke, wenn α, β ∈ ℝ existieren mit α< β, a ∈ (α, β) \ D, (α, β) \ {a} ⊂ D und limx→af(x) existiert in ℝ.
In einer Lücke ist f nicht definiert, die Frage nach der Stetigkeit stellt sich also an einer solchen Stelle gar nicht. Natürlich kann man auch hier nach stetiger Ergänzung fragen.
Auch hierzu ein Beispiel:
Für x ∈ D ist f(x) = x + 1.Bis auf die Stelle 1, wo f nicht definiert ist, stimmt also f mit der durch a(x) ≔ x + 1 (x ∈ ℝ) gegebenen Geraden überein. Bei 1 hat f eine Lücke. Die Funktion a ist gerade diejenige, die man durch stetige Ergänzung von f erhält.
Für weitere Information zu diesem Themenkreis siehe auch Stetigkeit.
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