Einen Besen auf der flachen Hand zu balancieren – mit den Borsten nach oben, wohlgemerkt – ist nicht übermäßig schwer. Es ist sogar eine beliebte Übungsaufgabe in der Robotik geworden, ein kleines Wägelchen so anzusteuern, dass es durch Hin- und Herfahren einen auf seiner Oberfläche beweglich befestigten Besen in der kippeligen vertikalen Position hält.

Die Kunst besteht darin, genau zu beobachten oder zu erspüren, in welche Richtung das gute Stück abzukippen droht, und dieses Abkippen rechtzeitig durch eine wohl dosierte horizontale Gegenbewegung zu vereiteln – nicht zu heftig, denn sonst droht die Katastrophe in der Gegenrichtung. Es gilt also, ein eigentlich instabiles System durch geeignetes Reagieren zu stabilisieren.

Überraschenderweise kann man selbst auf diese Rückkopplung und damit auf die bescheidene Intelligenz, die in die Steuerung eines Roboterwägelchens eingebaut ist, verzichten. Es genügt, den Aufhängepunkt hinreichend schnell auf und ab zu bewegen. Wie von Geisterhand richtet sich der Besen auf und bleibt aufrecht stehen, allenfalls gemächlich ein wenig um die Vertikale schwingend.

Es muss auch nicht unbedingt ein Besen sein. Die Theoretiker reden lieber vom "umgekehrten starren Pendel": An einer Aufhängung ist eine masselose starre Stange befestigt, und an deren anderem Ende sitzt ein Massenpunkt. Die Realisierungen können von dieser Idealvorstellung weit entfernt sein.

Als Antrieb bietet sich für große Hörsaalvorführungen eine Stichsäge an. Etwas weniger großräumig und geräuschvoll geht es mit einem elektrischen Rasierapparat zu; und wer die Sache genau untersuchen und quantitativ studieren möchte, bevorzugt die Membran eines großen Lautsprechers. Denn deren Schwingungsfrequenz lässt sich durch Anschluss an einen Tongenerator präzise und nach Wunsch einstellen. Entsprechend winzig ist das Pendel, das der Experimentator auf die Membran klebt.

Wie kommt das Phänomen zu Stande? Am Anfang muss man dem Massenpunkt schon ein bisschen aufhelfen, indem man ihn über die horizontale Lage hinaushebt. Ein abwärts hängendes Pendel ist auch durch heftiges Auf-und-ab-Schütteln nicht aus der Ruhelage zu bringen. Nehmen wir also an, dass das Pendel in einer Stellung schräg nach oben losgelassen wird. In diesem Moment ereilt seinen Aufhängepunkt der Ruck nach unten. Von dem bekommt der Massenpunkt am Pendelende nur die Komponente in Richtung der Stange mit, mit dem Effekt, dass es ihn nicht nur nach unten treibt, sondern auch einwärts, das heißt auf die vertikale Achse zu, die durch den Aufhängepunkt geht. Die Abwärtsbewegung des Aufhängepunktes stellt also das Pendel steiler.

Das könnte der Effekt sein, der das Pendel in die Vertikale bringt und dort stabilisiert: Wenn der Aufhängepunkt schneller abwärts bewegt wird, als der Massenpunkt auf Grund seines Eigengewichts ohnehin fällt, dann fahren sie beide beschleunigt zur Hölle, und zwar genau vertikal übereinander. Aber in der Realität geht es nach kurzem Absinken schon wieder aufwärts, und dasselbe Spiel wiederholt sich mit umgekehrtem Vorzeichen: Vermittelt durch die starre Stange, wird der Massenpunkt nicht nur nach oben, sondern auch nach außen gedrückt, die Stange steht also hinterher flacher als zuvor. Über eine ganze Schwingungsperiode gemittelt muss also das Auf-und-ab-Hüpfen des Aufhängepunktes den Effekt null haben. Oder?

Nicht ganz. Die durch die Stange ausgeübte Kraft zerlegt sich in eine vertikale und eine horizontale Komponente. Je steiler das Pendel steht, desto geringer ist die horizontale Komponente. Der Ruck nach oben wirkt auf ein steileres Pendel und treibt es deswegen weniger weit auswärts, als der Ruck nach unten es einwärts getrieben hat. Netto kommt ein einwärts treibender Effekt zu Stande, der sogar das Eigengewicht der Pendelmasse übertreffen kann.

Doch halt! Die Bewegung des Aufhängepunktes besteht nicht nur aus zwei Rucken. Lassen wir es dahingestellt sein, wie Stichsäge und Rasierapparat im Einzelnen konstruiert sind und welche Musik aus dem Lautsprecher ertönt: Eine vernünftige Näherung an die Tatsachen ist in jedem Fall eine sinusförmige Schwingung. Der soeben geschilderte Effekt verwischt sich also möglicherweise bis zur Unkenntlichkeit. Es hilft nichts, man muss genauer nachsehen.

Ein beschleunigtes Bezugssystem: Es ist zweckmäßig, sich dafür in Gedanken auf den zappelnden Aufhängepunkt zu setzen. Der solcherart auf und ab hüpfende Beobachter darf sich ohne weiteres der Illusion hingeben, er selbst sei in Ruhe und der Rest der Welt hüpfe ab und auf. Allerdings ist sein Bezugssystem gegenüber dem umgebenden Raum beschleunigt und diesem daher nicht gleichberechtigt; aus diesem Grund muss der Beobachter unterstellen, auf die Gegenstände seines Bezugssystems, insbesondere die Pendelmasse, wirke eine Kraft, die so genannte Trägheitskraft. Sie verursacht eine Beschleunigung, die entgegengesetzt gleich der Beschleunigung des bewegten Bezugssystems ist.

Theoretiker verwenden für derartige Kräfte den abwertenden Begriff "Scheinkraft". Schon richtig: Die Kraft kommt nur durch die willkürliche Wahl des Bezugssystems zu Stande. "Eigentlich" drückt mich im Karussell nicht die Trägheitskraft (die hier "Fliehkraft" heißt) nach außen, sondern die mit der Drehachse fest verbundene Außenseite hindert mich daran, meiner Trägheit folgend tangential davonzufliegen. Aber die Vorstellung mit der Trägheitskraft ist wesentlich einleuchtender – und genauso zulässig, denn sie führt ebenfalls zu einer korrekten Beschreibung der Phänomene.

Für hinreichend schnelle Bewegungen unseres Pendel-Aufhängepunktes kann die Trägheitskraft die Gravitation ohne weiteres übertreffen. Zumindest während eines Teils der Schwingungsperiode zeigt also die Gesamtkraft nach oben, und nichts wäre für das Pendel natürlicher, als nach oben zu fallen und dort hängen zu bleiben. Dass allerdings auch eine Kraft, deren zeitlicher Mittelwert null ist, ein Pendel in die Höhe treiben kann, bedarf näherer Begründung (siehe Kasten).

Moderne, handliche Stichsägen verführen die Physiker zu neuen Experimenten. Man muss den Aufhängepunkt des Pendels nicht unbedingt in der Vertikalen schwingen zu lassen. Eine Schwingung in schräger Richtung veranlasst das Pendel, sich in genau diese Richtung einzustellen. Im Allgemeinen schwingt es langsam um diese Gleichgewichtslage; unter gewissen Umständen kann man Periodenverdopplung oder gar chaotisches Verhalten erzeugen oder zumindest mit dem Computer simulieren – all die interessanten Dinge, zu denen ein nichtlineares dynamisches System fähig ist.

Literaturhinweise


On the Dynamic Stabilization of an Inverted Pendulum. Von Eugene I. Butikov in: American Journal of Physics, Bd. 69, Heft 7, S. 755 (2001).

Experimental Study of an Inverted Pendulum. Von H. J. T. Smith und J. A. Blackburn in: American Journal of Physics, Bd. 60, Heft 10, S. 909 (1992).

The Driven Pendulum at Arbitrary Drive Angles. Von ­Gordon J. VanDalen. Zum Download bereit unter www.arxiv.org, physics, 0211047 (Juni 2003).

Aus: Spektrum der Wissenschaft 12 / 2003, Seite 110
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