Auf den ersten Blick sieht die ABC-Vermutung täuschend einfach aus. Sie macht eine Aussage über drei natürliche Zahlen namens A, B und C, die durch die einfachste überhaupt mögliche Beziehung miteinander verknüpft sind: A + B = C. Was genau sie aber über diese drei Zahlen aussagt, ist nicht ganz so offensichtlich; und ein Beweis liegt nach dem derzeitigen Stand unseres Wissens in weiter Ferne.

Formuliert wurde sie 1985 von dem Franzosen Joseph Oesterlé, Professor an der Université Paris VI, und dem Briten David Masser, Professor an der Universität Basel. Wenn sie zutrifft, dann hätte man eine Alternative zu dem Beweis, den Andrew Wiles und Richard Taylor für die fermatsche Vermutung geliefert haben (Spektrum der Wissenschaft 1/1998, S. 96). Und nicht nur das: Ganze Klassen von Problemen, die sich auf Gleichungen unter ganzen Zahlen beziehen, wären gleich miterledigt.

Ein Zugang zur ABC-Vermutung verläuft über ein beliebtes Prinzip der Zahlentheorie: Man tut so, als seien die Eigenschaften der natürlichen Zahlen, insbesondere ihre Zusammensetzung aus Primfaktoren, vom Zufall bestimmt. In erstaunlich vielen Aspekten verhalten sich die Zahlen so, als träfe diese – falsche – Unterstellung zu. So folgt die Verteilung der Primzahlen, als wäre sie zufällig, mit großer Genauigkeit dem gaußschen Primzahlsatz und mit noch größerer Genauigkeit dessen Verfeinerungen (Spektrum der Wissenschaft 9/2008, S. 86). ...