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Mathematische Unterhaltungen: Komplexe Schönheiten

Eine spezielle Darstellungsmethode für Funktionen einer komplexen Variablen ist das so genannte Phasenporträt. Hier demonstriert es ihre wesentlichen Eigenschaften in knallbunten Farben.
Komplexe Kosinusfunktion

Der naheliegendste Gedanke: Wir zeichnen sie in ein Koordinatensystem. Die horizontale x-Achse ist für die Werte der unabhängigen Variablen, die vertikale y-Achse für die der abhängigen Variablen, und jedes Zahlenpaar (x, f(x))ergibt einen Punkt der Kurve. Das Verfahren ist so gewöhnlich, dass uns kaum noch in den Sinn kommt, wie ungeheuer nützlich es ist. Wir sehen mit einem Blick auf die Kurve, an welchen Stellen etwas Besonderes passiert: wo die Funktion maximal oder minimal wird oder wo f(x) =0 ist (eine "Nullstelle"), nämlich genau da, wo die Kurve die x-Achse kreuzt. Und da eine Nullstelle einer Funktion dasselbe ist wie eine Lösung der zugehörigen Gleichung, hat jeder, der eine Gleichung lösen möchte, ein besonderes Augenmerk auf Funktionen und ihre Nullstellen ...

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Spektrum Kompakt – Schwarze Löcher

Schwarze Löcher gehören längst nicht mehr in die Nische aberwitziger Theorien, sondern haben sich im Alltag der Astrophysik etabliert. Viele Phänomene im Weltall lassen sich nur mit diesen extrem kompakten Raumzeitfallen erklären.

Sterne und Weltraum – Schwarze Löcher – Gibt es Singularitäten doch nicht?

Der Mathematiker Roy Kerr fand einen vermeintlichen Fehler in der Beschreibung schwarzer Löcher durch Roger Penrose und Stephen Hawking. Lesen Sie, weshalb seine Argumente nicht stichhaltig sind. Der Asteroid Apophis wird sich im April 2029 der Erde dicht annähern. Die ESA plant mit ihrer Mission RAMSES den etwa 350 Meter großen Gesteinsbrocken zu begleiten. Wir stellen die Initiative „Astronomie als Kickstarter“ in Schulen vor und komplettieren unsere Serie „Der Weg zum Deep-Sky-Foto“ anhand konkreter Arbeitsschritte in Bildbearbeitungsprogrammen.

Spektrum der Wissenschaft – Die Zähmung der Raum-Zeit-Singularität

In dieser Ausgabe widmet sich Spektrum der Wissenschaft dem Thema Quantengravitation. Außerdem im Heft: Die innere Uhr, Revolution in der Halbleiterindustrie und das Bewusstsein.

  • Quellen

Wegert, E., Semmler, G.: Phase Plots of Complex Functions: A Journey in Illustration. In: Notices of the AMS 58, S. 768–780, 2011

Wegert, E.: Visual Complex Functions. An Introduction with Phase Portraits. Birkhäuser, Basel 2012

Wegert, E.: Visual Explorations of Complex Functions. In: Qian, T., Rodino, L. (Hg.): Mathematical Analysis, Probability and Applications. Plenary Lectures, ISAAC 2015, Macau, China. Springer, Heidelberg 2016, S. 253–279

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