Es ist möglich, eine Kugel im dreidimensionalen Raum in endlich viele Stücke zu zerlegen und diese dann so zusammenzusetzen, dass zwei Kugeln entstehen, die genau so groß sind wie die erste. Dieser erstaunliche Satz der Mengenlehre wurde 1924 von den polnischen Mathematikern Stefan Banach (1892 – 1945) und Alfred Tarski (1901 – 1983) formuliert und bewiesen.

Allerdings haben die Teilstücke der Zerlegung keine anschaulich verständliche Form. Vielmehr sind diese Punktmengen nicht messbar, das heißt so bizarr, dass man ihnen kein Volumen zuschreiben kann. Offensichtlich hat der dreidimensionale mathematische Raum Eigenschaften, die es in der physischen Realität nicht gibt. Um die Existenz solcher Punktmengen zu beweisen, benötigt man das Auswahlaxiom, jene merkwürdige Aussage, die nicht dieselbe Selbstverständlichkeit genießt wie die klassischen Axiome der Mengenlehre nach Zermelo und Fraenkel. Denn mit diesen ist das Auswahlaxiom ebenso gut vereinbar wie sein Gegenteil (Spektrum der Wisenschaft 3/2009, S. 54).

Leonard Wapner, Professor für Mathematik am El Camino College in Torrance (Kalifornien) und seit 30 Jahren in der mathematischen Didaktik aktiv, führt in seinem Buch all diese Grundlagen, Beweise und Erkenntnisse ein und verfasst nebenbei...