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Hemmes mathematische Rätsel: Achilles und die Ameise

Achilles mag keine Ameisen. Als eine plötzlich auf einem zwischen ihm und einer Wand gespannten Gummiband auftaucht, weicht er immer weiter zurück und dehnt dabei das Band. Kann er ihr so entgehen?

Martin Gardner wurde 1914 in Tulsa in Oklahoma geboren und schrieb über ein Vierteljahrhundert lang für das amerikanische Wissenschaftsmagazin Scientific American die Kolumne Mathematical Games, in der er unterhaltsam über die Mathematik berichtete, mathematische Spielereien und Knobeleien vorstellte und den Lesern Rätsel zu lösen gab. Gardner wurde weltbekannt, und Monat für Monat lasen Hunderttausende begeistert seine Kolumne. Gardners Artikel wurden zu mehr als einem Dutzend Bücher zusammengefasst und in vielen Sprachen zu Bestsellern. Am 22. Mai 2010 starb Martin Gardner im Alter von 95 Jahren. In seinem 1982 erschienenen Buch Aha! Gotcha stellte er seine Lesern folgende Aufgabe:

Das linke Ende eines vier Meter langen Gummibandes ist an einer Felswand befestigt, das rechte Ende hält Achilles in der Hand. Eine Ameise, die am linken Ende des Bandes sitzt, beginnt plötzlich mit einer Geschwindigkeit von einem Meter pro Minute auf Achilles zuzukrabbeln. Achilles beobachtet dies. Nach einer Minute tritt er plötzlich einen großen Schritt zurück und dehnt dadurch das Gummiband gleichmäßig um einen Meter. Dies wiederholt er jetzt jede Minute. Nach jeder Minute wird also das Band, auf dem die Ameise krabbelt, schlagartig einen Meter länger. In der wievielten Minute nach ihrem Start erreicht die Ameise Achilles, falls sie ihn überhaupt jemals erreicht?

Das Gummiband ist 4 m lang und die Ameise hat eine Geschwindigkeit von 1 m/s. Also legt sie während der ersten Minute ihrer Reise 1/4 der Länge des Gummibandes zurück.

Nach der ersten Minute dehnt sich das Gummiband schlagartig auf 5 m Länge aus. Während der nächsten Minute legt die Ameise nun nur noch 1/5 des Bandes zurück.

Nach der zweiten Minute dehnt sich das Band auf 6 m Länge aus und die Ameise schafft in der dritten Minute nur noch 1/6 der Bandlänge. So geht das immer weiter.

Nach sechs Minuten hat sie 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 der Bandlänge überwunden.

Bringt man die Brüche auf ihren Hauptnenner und addiert sie, erhält man 2509/2520. Diese Zahl ist etwas kleiner als 1. Nach sechs Minuten hat die Ameise also noch nicht das Ende des Bandes erreicht. Nach der siebten Minute käme noch 1/10 der Bandlänge hinzu, so dass die Ameise dann 2761/2520 der Bandlänge überwunden hätte. Diese Zahl ist größer als 1. Folglich wird die Ameise Achilles während der siebten Minute ihrer Reise erreichen.

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