Betrachten Sie speziell

• die nahen Umgebungen der gegebenen Punkte,
• ihren Mittelpunkt, und
• den Fernbereich.

Ohne Rechnung ist klar, dass die Kurven (sie heißen "Cassini-Kurven") zwei Symmetrieachsen haben müssen, eine durch die beiden Punkte (Pole), eine rechtwinklig dazu durch den Mittelpunkt (was ja für die Ellipse auch zutrifft). Während es bei der Ellipse für jedes Paar von Brennpunkten eine Mindest-Entfernungssumme gibt (nämlich den Abstand der Brennpunkte), kann das Entfernungsprodukt bei den Cassini-Kurven beliebig groß oder klein sein.

Ist es sehr groß, ist die Kurve fast ein (sehr großer) Kreis, ist sie sehr klein, zerfällt sie in zwei sehr kleine geschlossene Kurven, die fast kreisförmig sind und die beiden Pole umgeben.

Dazwischen gibt es noch einen Spezialfall mit einem eigenen Namen: die Lemniskate (genauer: die Bernoulli-Lemniskate; es gibt noch andere). Sie sieht aus wie eine liegende 8 und kreuzt sich selbst im Mittelpunkt (als einzige Cassini-Kurve). Dass sie sich dort rechtwinklig kreuzt (genauer: ihre Tangenten tun es), ist mit einer Näherungsbetrachtung rechnerisch einzusehen.

In diesem Bild sind die Grenzen zwischen den Farben Cassini-Kurven für die beiden durch weiße Kreuzchen bezeichneten Pole.

Eine räumliche Figur mit Cassini-Kurven als Höhenlinien sieht so aus:

Das Bild zeigt einen Rahmen mit zwei Zeichenvorrichtungen, die obere ist (annähernd) für die Lemniskate, die untere für eine Kurve, die ihr qualitativ ähnelt, links sind die – hier waagerechten – Stangen in einer Stellung, in der jedes Loch einen Kreis durchläuft, rechts sind aus den Parallelogrammen durch Überschlagen Antiparallelogramme geworden. Wie man mit diesem Gelenkmechanismus die Lemniskate erzeugen kann, zeigt die nächste Animation.

Die Längen der Stangen bzw. Abstände der Ecken des Antiparallelogramms verhalten sich wie \(\sqrt 2\) zu 1; 10:7 ist eine gute (und mit dem Metallbaukasten realisierbare) Näherung.