Hemmes mathematische Rätsel: Das babylonische Rechteck
Die Ruinen der Stadt Uruk stehen im südlichen Irak etwa 20 Kilometer östlich des Euphrats. Im Altertum lag die Stadt direkt am Fluss, der heute sein Bett verlagert hat. Uruk ist eine der bedeutendsten Ausgrabungsstätten im Zweistromland und der Fundort der ersten Schrift der Menschheit. Die Stadt ist namengebend für die Uruk-Zeit, die von etwa 3500-2800 v. Chr. dauerte. Bereits im ausgehenden 4. vorchristlichen Jahrtausend war Uruk eines der führenden Zentren der sumerischen Frühzeit. Eine zweite große Blütephase erlebte Uruk in der hellenistischen Zeit in den letzten vorchristlichen Jahrhunderten. Die Mathematik war in Uruk schon hoch entwickelt. Aus der altbabylonischen Zeit (1894 bis 1595 v. Chr.) stammt ein Keilschrifttäfelchen mit folgender Aufgabe:
Der siebte Teil der Länge, der siebte Teil der Breite und der siebte Teil der Fläche eines Rechtecks ergeben zusammen 2. Länge und Breite betragen zusammen 550⁄60. Wie lang und wie breit ist das Rechteck?
Bezeichnet man die beiden Seitenlängen des Rechtecks mit A und B, so kann man die Angaben über die Figur durch den beiden Gleichungen A/7 + B/7 + AB/7 = 2 und A + B = 550⁄60 zusammenfassen.
Die zweite Gleichung wird nach A aufgelöst und ergibt A = 35⁄6 − B. Die erste Gleichung wird mit 7 multipliziert und anschließend werden in ihr die beiden A durch die rechte Seite der zweiten Gleichung ersetzt. Das ergibt 35⁄6 − B + B + (35⁄6 − B)B = 14.
Durch einige Umformungen wird daraus B2 − 35⁄6 B + 49⁄6 = 0. Diese quadratische Gleichung hat die beiden Lösungen B = 21⁄3 und B = 31⁄2. Setzt man diese Ergebnisse in diese zweite Gleichung ein, erhält man A = 31⁄2 bzw. A = 21⁄3.
Die Rechteckseiten haben folglich die Längen 21⁄3 und 31⁄2.
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