Hemmes mathematische Rätsel: Die Summe der Kehrwerte
Alfred S. Posamentier wurde 1942 in New York als Sohn österreichischer Einwanderer geboren. Er ist der Leiter der »School of Education« am Mercy College in New York. Davor arbeitete er 40 Jahre an der »School of Education« am City College der City University in New York, wo er Professor für Didaktik der Mathematik war und die er später auch leitete. Posamentier ist der bekannteste Mathematikdidaktiker der USA und schreibt auch häufig Artikel für bekannte Tageszeitungen. Er ist Autor oder Mitautor von 55 Büchern. Aus seinem Buch »Mathematical Curiosities«, das er 2014 gemeinsam mit dem deutschen Mathematikdidaktiker Ingmar Lehmann geschrieben hat, stammt die folgende kleine Bruchrechnungsaufgabe. Sie scheint ganz simpel zu sein und dennoch gelingt es lange nicht jedem, sie zu lösen.
Wenn die Summe zweier Zahlen 2 und ihr Produkt 3 ist, wie groß ist dann die Summe ihrer Kehrwerte?
Die meisten Menschen, die die Aufgabe zu lösen versuchen, stellen für die beiden Zahlen a und b die Gleichungen ab = 3 und a + b = 2 auf. Löst man die zweite Gleichung nach b auf und setzt sie in die erste ein, erhält man a2 − 2a + 3 = 0. Die quadratische Gleichung hat die beiden komplexen Lösungen a1 = 1 + i√2 und a2 = 1 − i√2, wobei mit i die imaginäre Einheit gemeint ist. Nun muss man noch b bestimmen, das auch komplex ist und b1 = 1 − i√2 und b2 = 1 + i√2 ergibt. Schließlich müssen noch für jedes Lösungspaar die Kehrwerte dieser beiden komplexen Zahlen addiert werden.
Es geht aber auch sehr viel einfacher. Gesucht ist die Summe der Kehrwerte von a und b, d. h. 1/a + 1/b. Diese beiden Brüche kann man auf den Hauptnenner bringen und dann als (a+b)/(ab) zusammenfassen. Zähler und Nenner sind in der Aufgabe gegeben. Sie betragen a+b = 2 und ab = 3. Daraus erhält man sofort 1/a + 1/b = 2⁄3.
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