Alle Grashalme sind gleichberechtigt. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können Sie sich am oberen Ende auf eine Kombination von Verknotungen festlegen und am unteren Ende alle 15 Kombinationen durchprobieren .

Vielleicht ist aber auch die allgemeine Lösung für \(2n\) Grashalme (\(n\) eine positive ganze Zahl) einfacher?

Die Ecken der Sechsecke bedeuten die Grashalme sozusagen von oben gesehen, die roten Linien (leicht gebogen gezeichnet) sind immer die gleichen Verbindungen z. B. an den unteren Enden, die blauen zeigen die 15 verschiedenen Kombinationen an den oberen Enden an. Man sieht sofort, dass es 8 geschlossene Schleifen, 6 Paare von 2 Schleifen und einmal den Fall mit drei getrennten Schleifen gibt, die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also 8/15, was erstaunlicherweise etwas mehr als 1/2 ist.

Wie ist es allgemein mit \(2n\) Grashalmen?

Für \(n = 1\), also 2 Halme, ist die Wahrscheinlichkeit 1, wie leicht einzusehen ist. Wir nehmen nun an, dass wir die Wahrscheinlichkeit für einen einzigen geschlossenen Ring aus \(2n\) Halmen kennen, und nennen sie \(w_n\). Was bringen nun zwei weitere Halme mit sich? Wenn sie beiderseits miteinander verknotet werden, ist es schlecht für die Heiratsaussichten (wenn das Orakel die Wahrheit sprechen sollte), das geschieht aber gerade mit der Wahrscheinlichkeit \(1/(2n+ 1)\). Alle anderen Fälle sind günstig! Also ist \(w_{n+1} = w_n \cdot 2n/(2n+1) \). Diese Rekursionsformel gibt für 8 Halme immerhin noch 48/105 und für 10 Stück (also \(n = 5\)) die Wahrscheinlichkeit 384/945.

Kaum zu glauben, dass man mit 40 Halmen immer noch 20 % Wahrscheinlickeit für einen einzigen geschlossenen Ring hat! Ganz ehrlich: Das haut mich noch mehr vom Hocker als die Ergebnisse für wenige Halme.

Diese Aufgabe ist Nr. 78 in der Aufgabensammlung der Brüder Jaglom (Band I). Martin Gardner hat sie auch dort gefunden und im März bzw. April 1965 im Scientific American gebracht. Bei Jaglom findet man auch eine Diskussion über Näherungslösungen für sehr große Werte von \(n\).