1885 "fand" (erfand, entdeckte?) C. Reinhardt das Heptaeder ("Siebenflächner"), ein Gebilde, das die gleichen 6 Ecken und die gleichen 12 Kanten wie das Oktaeder hat, aber nur 7 statt dessen 8 Flächen. Trotzdem stoßen an jeder Kante genau zwei Flächen zusammen – sonst wäre es kein Polyeder – und an jeder Ecke 4 Kanten und 4 Flächen.

Die 7 Flächen sind 4 Dreiecke (von denen des Oktaeders bleibt abwechselnd jedes zweite erhalten, die anderen werden zu leeren Fenstern) plus 3 Quadrate, die in den drei Symmetrieebenen des Oktaeders liegen. Dass sie sich durchkreuzen, ist nur ein Schönheitsfehler in drei Dimensionen.

In 5 Dimensionen geht es problemlos, wie ich bei Lakatos gelesen habe. Das ist ähnlich wie bei einem Viereck, zu definieren als vier Punkte, die zyklisch miteinander durch gerade Strecken verbunden sind. Liegen die vier Punkte in einer gemeinsamen Ebene, so gibt es zwei Fälle: Entweder kreuzen sich zwei Seiten in einem Punkt, oder keine zwei kreuzen sich. In drei Dimensionen ist das aber insofern weniger wesentlich, als der Fall mit allen Ecken in einer Ebene dann ein extrem seltener Sonderfall ist.

So betrachtet, ist das Heptaeder weniger exotisch. Bemerkenswert ist aber, dass die Euler-Charakteristik nicht 2 (wie bei den "gewöhnlichen" Polyedern, die sozusagen eckig gemachte Fußbälle sind), sondern 1 ist.

Wenn man die Durchdringung von Flächen überhaupt nicht mag, kann man das Heptaeder auch als Zusammenfügung von 4 Tetraedern auffassen. Jedes von ihnen besteht aus je einer gleichseitigen Grundfläche und 3 gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecken. Dieser Körperverbund hat dann allerdings 7 Ecken (nämlich in der Mitte eine mehr), 18 Kanten und 16 Dreiecke und damit die Euler-Charakteristik 5.

Kehren wir wieder zu der Sicht mit nur 7 (sich teilweise durchdringenden) Flächen und nur 6 Ecken zurück: Entwerfen Sie ein Schnittmuster aus einem Stück Karton, bei dem ein Quadrat in zwei Hälften und eines in 4 Vierteln vorkommt (jeweils entlang von Diagonalen geschnitten). Verwenden Sie Karton mit unterschiedlich gefärbten Seiten und sehen Sie beim Zusammenfügen nach, ob das Heptaeder als Fläche ein- oder zweiseitig ist.

Mit den beiden Eigenschaften "alle Flächen sind regelmäßige Vielecke" und "alle Ecken sind gleich", das heißt, an jede Ecke grenzen die gleichen Flächen in der gleichen Reihenfolge" wäre das Heptaeder in die Familie der archimedischen (halbregelmäßigen) Körper einzuordnen. Aber es ist ja darüber hinaus noch nichtkonvex und gehört deswegen zu der zahlreicheren (und exotischeren) Familie der uniformen Polyeder.